R의 피팅 t- 분포 : 스케일링 파라미터

t- 분포의 모수, 즉 정규 분포의 '평균'및 '표준 편차'에 해당하는 모수를 어떻게 적합합니까? 나는 그것들을 t- 분포에 대해 '평균'과 '확장 / 자유도'라고 부릅니다.

다음 코드는 종종 '최적화 실패'오류를 발생시킵니다.

library(MASS)
fitdistr(x, "t")

x를 먼저 스케일하거나 확률로 변환해야합니까? 최선을 다하는 방법?

fitdistr최대 우도 및 최적화 기법을 사용하여 주어진 분포의 모수를 찾습니다. @ user12719에서 알 수 있듯이 t- 분포의 경우 특히 다음과 같은 형식의 최적화가 있습니다.

fitdistr(x, "t")

오류와 함께 실패합니다.

이 경우 최적의 매개 변수 검색을 시작하기 위해 시작점과 하한을 제공하여 옵티 마이저에게 손을 제공해야합니다.

fitdistr(x, "t", start = list(m=mean(x),s=sd(x), df=3), lower=c(-1, 0.001,1))

노트, df=3 무엇에 "최적"에서 최선의 추측df 할 수있다. 이 추가 정보를 제공하면 오류가 사라집니다.

내부 메커니즘을 더 잘 이해하는 데 도움이되는 몇 가지 발췌문 fitdistr:

정규, 대수, 기하, 지수 및 포아송 분포의 경우 닫힌 형태의 MLE (및 정확한 표준 오류)가 사용 start되며 제공해서는 안됩니다.

...

다음과 같은 명명 된 분포의 경우 start"cauchy", "gamma", "logistic", "negative binomial"(mu 및 size로 매개 변수화), "t"및 "weibull"을 생략하거나 부분적으로 만 지정 하면 합리적인 시작 값이 계산됩니다 . ". 적합치가 불량한 경우 이러한 시작 값이 충분하지 않을 수 있습니다. 특히 적합 분포가 긴 꼬리가 아닌 한 특이 치에 대한 내성이 없습니다.

$\nu$$t$

$\nu$$t$

set.seed(1234)
n <- 10
x <- rt(n,  df=2.5)

make_loglik  <-  function(x)
    Vectorize( function(nu) sum(dt(x, df=nu,  log=TRUE)) )

loglik  <-  make_loglik(x)
plot(loglik,  from=1,  to=100,  main="loglikelihood function for df     parameter", xlab="degrees of freedom")
abline(v=2.5,  col="red2")

$n$

시뮬레이션을 해보자 :

t_nu_mle  <-  function(x) {
    loglik  <-  make_loglik(x)
    res  <-  optimize(loglik, interval=c(0.01, 200), maximum=TRUE)$maximum
    res   
}

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(10, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)

> mean(nus)
[1] 45.20767
> sd(nus)
[1] 78.77813

추정이 매우 불안정하다는 것을 보여줍니다 (히스토그램을 보면 추정값의 상당 부분이 200을 최적화하기 위해 주어진 상한에 있습니다).

더 큰 샘플 크기로 반복 :

nus  <-  replicate(1000, {x <- rt(50, df=2.5)
    t_nu_mle(x) }, simplify=TRUE)
> mean(nus)
[1] 4.342724
> sd(nus)
[1] 14.40137

이것은 훨씬 낫지 만 평균은 여전히 ​​실제 값 2.5보다 높습니다.

그런 다음 이것은 위치 및 스케일 매개 변수도 추정해야하는 실제 문제의 단순화 된 버전임을 기억하십시오.

를 사용하는 이유가$t$ 분포 가 "견고하게"하는 경우 추정$\nu$ 데이터에서 견고성을 손상시킬 수 있습니다.

fitdistr의 도움말에는 다음 예제가 있습니다.

fitdistr(x2, "t", df = 9)

df에 대한 값만 필요하다는 것을 나타냅니다. 그러나 그것은 표준화를 가정합니다.

더 많은 제어를 위해

mydt <- function(x, m, s, df) dt((x-m)/s, df)/s
fitdistr(x2, mydt, list(m = 0, s = 1), df = 9, lower = c(-Inf, 0))

여기서 매개 변수는 m = 평균, s = 표준 편차, df = 자유도입니다.