감마 랜덤 변수의 차이

두 개의 독립적 인 랜덤 변수 $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ 및 지면 차이의 분포는 무엇 입니까? ? $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

결과가 잘 알려지지 않은 경우 어떻게 결과를 도출 할 수 있습니까?

distributions gamma-distribution

— FBC
소스

나는 관련이 있다고 생각합니다 : stats.stackexchange.com/q/2035/7071

— Dimitriy V. Masterov

불행하게도 그 게시물은 가중치가 엄격하게 양수인 감마 랜덤 변수의 가중치 합을 고려합니다. 필자의 경우 가중치는 각각 +1과 -1입니다.

— FBC

Moschopoulos 논문은이 방법이 선형 조합으로 확장 될 수 있다고 주장하지만, 당신은 재조정이 0보다 큰 무게로 제한되는 것 같습니다.

— Dimitriy V. Masterov

두 척도 계수가 동일하지 않으면 단순하거나 닫힌 형태로 무언가를 도출 할 수있는 희망이 거의 없습니다.

— whuber

작은 설명 : 동일한 매개 변수를 갖는 지수 분포 rv의 특별한 경우 결과는 Laplace입니다 ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ).

— Ric

문제에 어떻게 접근 할 수 있는지 설명하고 모양 매개 변수가 정수이지만 세부 사항을 채우지 않는 특수 경우에 대한 최종 결과가 무엇인지 생각합니다.

우선, 노트가 의 값을 취한다 등 지원이 . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
둘째, 표준 결과에서 두 개의 독립적 인 연속 확률 변수의 합과의 밀도이며, 그 밀도 회선이라고 및 확률 변수의 밀도가 이고 추론이
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
셋째, 음이 아닌 난수 변수 및 경우 위의 표현은 단순화됩니다. $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
마지막으로, 파라미터 화 된 사용 밀도를 가진 확률 변수 의미 $\Gamma(s,\lambda)$ , 및 랜덤 변수를 사용하면대해 $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$ 마찬가지로경우
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— 디립 사르 베이트
소스

+1 : 이전에이 문제를 살펴본 결과,이 답변이 흥미 롭습니다.

— Neil G

닫힌 양식 솔루션이없는 것처럼 보이지만이 답변을 수락 할 것입니다. 감사합니다!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

내가 아는 한, 2 개의 독립적 인 감마 rv의 차이의 분포는 1993 년 Mathai에 의해 처음 연구되었다. 그는 폐쇄 형 솔루션을 도출했다. 나는 그의 작품을 여기서 재현하지 않을 것이다. 대신 나는 당신에게 원래의 소스를 가리킬 것입니다. 닫힌 양식 솔루션은 논문 241 페이지 에서 일반 변수의 이차 형태의 비 중앙 일반화 된 라플라시안에 관한 정리 2.1에서 찾을 수 있습니다 .

— 나단 크록
소스