경험적 분포 대안

하사품:

아래의 견적서 를 사용하거나 언급 한 출판 된 논문에 대한 참조를 제공하는 사람에게 전체 현상금이 수여 됩니다. $\tilde{F}$

자극:

이 섹션은 아마도 당신에게 중요하지 않으며 나는 당신이 현상금을 얻는 데 도움이되지 않을 것이라고 생각하지만 누군가가 동기 부여에 대해 물었으므로 여기에 내가하고있는 일이 있습니다.

통계 그래프 이론 문제를 연구 중입니다. 표준 밀도 그래프 제한 객체 은 와 같은 의미에서 대칭 함수입니다 . 에 그래프 샘플링 정점하여 샘플로 간주 할 수 (단위 간격에 균일 한 값을 위해 에지의 후 확률) 및 인 . 결과 인접 행렬을 라고 합니다. $W : [0,1]^2 \to [0,1]$ $W(u,v) = W(v,u)$ $n$ $n$ $U_i$ $i = 1, \dots, n$ $(i,j)$ $W(U_i, U_j)$ $A$

우리는 를 가정 하면 밀도 로 취급 할 수 있습니다 . 우리가 추정하는 경우 기반으로 에 대한 제약없이 , 우리는 일관된 추정치를 얻을 수 없습니다. 나는 일관되게 추정에 대한 흥미로운 결과를 발견 할 때 가능한 기능의 제한된 세트에서 온다. 이 추정기 및 에서 를 추정 할 수 있습니다 . $W$ $f = W / \iint W$ $\iint W > 0$ $f$ $A$ $f$ $f$ $f$ $\sum A$ $W$

불행히도, 내가 찾은 방법은 밀도가 분포에서 샘플링 할 때 일관성을 보여줍니다 . 가 구성 되는 방식 은 (원래 에서 그림을 가져 오는 것과는 대조적으로) 점 그리드를 샘플링해야합니다 . 이 stats.SE 질문에서 실제로 분포에서 직접 샘플링하는 것이 아니라 이와 같은 그리드에서 샘플 Bernoullis 만 샘플링 할 수있을 때 발생하는 1 차원 (간단한) 문제를 묻습니다. $f$ $A$ $f$

그래프 한계에 대한 참조 :

L. Lovasz와 B. Szegedy. 고밀도 그래프 시퀀스의 한계 ( arxiv ).

C. Borgs, J. Chayes, L. Lovasz, V. Sos 및 K. Vesztergombi. 고밀도 그래프의 수렴 시퀀스 i : 서브 그래프 주파수, 메트릭 속성 및 테스트. ( arxiv ).

표기법:

구간 에 대해 긍정적 인지지를 갖는 cdf 및 pdf 를 사용한 연속 분포를 고려하십시오 . 가정하자 더 pointmass가없는 사방 미분 가능하며, 또한 의 supremum 인 구간의 . 하자 확률 변수의 의미 분포에서 샘플링 . 는 iid 균일 랜덤 변수입니다 . $F$ $f$ $[0,1]$ $f$ $F$ $\sup_{z \in [0,1]} f(z) = c < \infty$ $f$ $[0,1]$ $X \sim F$ $X$ $F$ $U_i$ $[0,1]$

문제 설정 :

종종 을 분포 갖는 임의의 변수로 만들고 일반적인 경험적 분포 함수 와 함께 여기서 는 표시기 함수입니다. 이 경험적 분포 는 그 자체가 무작위입니다 ( 는 고정되어 있음). $X_1, \dots, X_n$ $F$

{\hat{F}}_{n} (t) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} I {X_{i} \leq t}

$\hat{F}_n(t) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I\{X_i \leq t\}$

I

$I$

{\hat{F}}_{n} (t)

$\hat{F}_n(t)$

t

$t$

불행히도, 나는 에서 직접 샘플을 그릴 수 없습니다 . 그러나 는 에서만 긍정적 인 지원을 하고 있으며 임의의 변수 생성 할 수 있습니다. 여기서 는 성공 확률이있는 Bernoulli 분포를 갖는 임의의 변수입니다 여기서 와 는 위에 정의되어 있습니다. 따라서 입니다. 이 값 에서 를 추정 할 수있는 한 가지 확실한 방법은 여기서 $F$ $f$ $[0,1]$ $Y_1, \dots, Y_n$ $Y_i$

p_{i} = f ((i - 1 + U_{i}) / n) / c

$p_i = f((i-1+U_i)/n)/c$

c

$c$

U_{i}

$U_i$

Y_{i} \sim Bern (p_{i})

$Y_i \sim \text{Bern}(p_i)$

F

$F$

Y_{i}

$Y_i$

{\tilde{F}}_{n} (t) = \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \sum_{i = 1}^{⌈ t n ⌉} Y_{i}

$\tilde{F}_n(t) = \frac{1}{\sum_{i=1}^n Y_i} \sum_{i=1}^{\lceil tn \rceil} Y_i$

⌈ \cdot ⌉

$\lceil \cdot \rceil$ 은 천장 함수 (가장 가까운 정수로 반올림)이며 경우 다시 그립니다 ( 나누지 않고 유니버스 축소) . 참고 또한 사람 랜덤 변수 랜덤 변수이다.

\sum_{i = 1}^{n} Y_{i} = 0

$\sum_{i=1}^n Y_i = 0$

\tilde{F} (t)

$\tilde{F}(t)$

Y_{i}

$Y_i$

질문 :

가장 쉬운 것부터 가장 어려운 것까지.

이 (또는 이와 유사한 것)에 이름 이 있는지 아는 사람이 있습니까? 속성 중 일부를 볼 수있는 참조를 제공 할 수 있습니까? $\tilde{F}_n$
으로 입니다 의 일관된 추정 (당신은 그것을 증명할 수)? $n \to \infty$ $\tilde{F}_n(t)$ $F(t)$
제한의 분포 란 로서 ? $\tilde{F}_n(t)$ $n \to \infty$
이상적으로는 의 함수로 다음을 묶고 싶습니다 예 : .하지만 진실이 무엇인지 모르겠습니다. 의미 확률에 큰 O $n$ $O_P(\log(n) /\sqrt{n})$ $O_P$

sup_{C \subset [0, 1]} \int_{C} | {\tilde{F}}_{n} (t) - F (t) | d t

$\sup_{C \subset [0,1]} \int_C |\tilde{F}_n(t) - F(t)| \, dt$

몇 가지 아이디어와 메모 :

이것은 그리드 기반 계층화를 사용한 수용 거부 샘플링 과 매우 유사 합니다. 제안을 거부하면 다른 샘플을 작성하지 않기 때문에 그렇지 않습니다.
이 이 바이어스되어 있다고 확신합니다 . 대체 는 편견이 없지만 불쾌한 속성이 있습니다. 입니다. $\tilde{F}_n$
${\tilde{F^{*}}}_{n} (t) = \frac{c}{n} \sum_{i = 1}^{⌈ t n ⌉} Y_{i}$ $\tilde{F^*}_n(t) = \frac{c}{n} \sum_{i=1}^{\lceil tn \rceil} Y_i$ $\mathbb{P}\left(\tilde{F^*}(1) = 1\right) < 1$
을 플러그인 견적 도구 로 사용하고 싶습니다 . 나는 이것이 유용한 정보라고 생각하지 않지만 왜 그런지 알 수 있습니다. $\tilde{F}_n$

R의 예

경험적 분포를 과 비교하려는 경우 일부 R 코드가 있습니다 . 들여 쓰기 중 일부가 잘못되어 죄송합니다. 문제를 해결하는 방법을 모르겠습니다. $\tilde{F}_n$

# sample from a beta distribution with parameters a and b
a <- 4 # make this > 1 to get the mode right
b <- 1.1 # make this > 1 to get the mode right
qD <- function(x){qbeta(x, a, b)} # inverse
dD <- function(x){dbeta(x, a, b)} # density
pD <- function(x){pbeta(x, a, b)} # cdf
mD <- dbeta((a-1)/(a+b-2), a, b) # maximum value sup_z f(z)


# draw samples for the empirical distribution and \tilde{F}
draw <- function(n){ # n is the number of observations
  u <- sort(runif(n)) 
  x <- qD(u) # samples for empirical dist
  z <- 0 # keep track of how many y_i == 1
  # take bernoulli samples at the points s
  s <- seq(0,1-1/n,length=n) + runif(n,0,1/n) 
  p <- dD(s) # density at s
  while(z == 0){ # make sure we get at least one y_i == 1
    y <- rbinom(rep(1,n), 1, p/mD) # y_i that we sampled
    z <- sum(y)
  }
  result <- list(x=x, y=y, z=z)
  return(result)
}

sim <- function(simdat, n, w){
  # F hat -- empirical dist at w
  fh <- mean(simdat$x < w) 
  # F tilde
  ft <- sum(simdat$y[1:ceiling(n*w)])/simdat$z
  # Uncomment this if we want an unbiased estimate.
  # This can take on values > 1 which is undesirable for a cdf.
  ### ft <- sum(simdat$y[1:ceiling(n*w)]) * (mD / n)
  return(c(fh, ft))
}


set.seed(1) # for reproducibility

n <- 50 # number observations
w <- 0.5555 # some value to test this at (called t above)
reps <- 1000 # look at this many values of Fhat(w) and Ftilde(w)
# simulate this data
samps <- replicate(reps, sim(draw(n), n, w))

# compare the true value to the empirical means
pD(w) # the truth 
apply(samps, 1, mean) # sample mean of (Fhat(w), Ftilde(w))
apply(samps, 1, var)  # sample variance of (Fhat(w), Ftilde(w))
apply((samps - pD(w))^2, 1, mean) # variance around truth


# now lets look at what a single realization might look like
dat <- draw(n)
plot(NA, xlim=0:1, ylim=0:1, xlab="t", ylab="empirical cdf",
     main="comparing ECDF (red), Ftilde (blue), true CDF (black)")
s <- seq(0,1,length=1000)
lines(s, pD(s), lwd=3) # truth in black
abline(h=0:1)
lines(c(0,rep(dat$x,each=2),Inf),
     rep(seq(0,1,length=n+1),each=2),
     col="red")
lines(c(0,rep(which(dat$y==1)/n, each=2),1),
      rep(seq(0,1,length=dat$z+1),each=2),
      col="blue")

위의 데이터에서 출력

EDITS :

편집 1-

@whuber의 의견을 해결하기 위해 이것을 편집했습니다.

편집 2-

R 코드를 추가하고 조금 더 정리했습니다. 가독성을 위해 표기법을 약간 변경했지만 기본적으로 동일합니다. 허용되는 즉시 현상금을 지급 할 계획이므로 추가 설명이 필요하면 알려주십시오.

편집 3-

나는 @ 추기경의 발언을 언급했다고 생각합니다. 전체 변형에서 오타를 수정했습니다. 현상금을 추가하고 있습니다.

편집 4-

@cardinal에 대한 "동기 부여"섹션을 추가했습니다.

— 사용자 1448319
소스

정의되지 않은 객체를 언급하고 특이한 표기법을 사용하는 순간 귀하의 질문이 모호해지기 시작했습니다. 예를 들어, 는 초기에 나타나지만 와 명백한 관련이 없으며 , "이산 분포가 아닌"것으로 생각한다는 사실을 훨씬 더 읽음으로써 만 어떤 종류의 물체입니까? 결정적으로, " 는 무엇을 의미합니까?" "은 일반적으로 최고를 의미 하지만 아마도 분포의 필수적인 지원과 관련이 있을까요? 질문.

f

$f$

F

$F$

sup_{z} f (z)

$\sup_z f(z)$

sup

$\sup$

— whuber

귀하의 의견에 감사드립니다 @ whuber. 수정 된 질문이 여전히 혼란 스러우면 알려주십시오.

— user1448319

아하! 그것이 이 고정되어 있지 않고 당신이 점증에 관심이 있다는 것을 처음으로 보았습니다 . 을 선택할 수있는 유연성이 있다면 , 고정 그리드 제한하지 않고 샘플 포인트의 적응 형 선택과 같은 다양한 가능성을 열 수 없습니까? 또한 가 연속적 (즉, 가 절대적으로 연속적 임) 과 같은 명시되지 않은 가정을하고 있음이 분명합니다 . 이 분석에 도움이 될 수 있는 기본 분포 에 대해 무엇을 더 가정 할 수 있습니까?

n

$n$

n

$n$

{i / n}

$\{i/n\}$

f

$f$

F

$F$

F

$F$

— whuber

다른 몇 가지 질문 / 설명 : 수렴 분석의 목적으로 삼각형 배열 , 을 실제로 고려하고 있다는 구성 방법을 암시 적으로 나타내는 것 같습니다 . 구성 방법에서 , 조건부 성공 확률 여기서 는 균일 한 랜덤 변수 임)로 Bernoulli 랜덤 변수를 (쉽게) 샘플링 할 수 있어야 합니다. 그게 사실입니까? (질문에 대한 문맥이 조금 더 많으면 이러한 많은 질문이 해결 될 것입니다.) 건배.

p_{i}

$p_i$

Y_{i, n}

$Y_{i,n}$

i = 1, \dots, n

$i=1,\ldots,n$

p_{i}

$p_i$

f (U) / c

$f(U)/c$

U

$U$

— 추기경

이 질문은 너무 많이 개선되어서 이전에 의견을 보았을 때까지 인식하지 못했습니다. 이제는 정말 흥미롭고 훨씬 더 잘 작성된 질문입니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

답변:

이 참조 동안

편집 : 매우 유사한 통계 "불완전한 관측으로부터 비모수 추정" 에 대한 참조 추가 EL Kaplan 및 Paul Meier, Journal of the American Statistical Association, Vol. 53, 282 호 (1958 년 6 월), 457-481 페이지

의 ECDF와 같은 추정치가 아닙니다 . 생존 분석에 사용 된 Kaplan-Meier 추정치 (일명, 제품 한계 추정기)와 논리적으로 동일하다고 생각합니다. . $[0,1]$ $[0,\infty)$

커널 스무딩을 통해 배포가 합리적으로 잘 이루어지면 (예를 들어, Wikipedia의 Khmaladze 변환 참조) 합리적으로 분배를 추정하면 편향을 추정 할 수 있습니다 .

그래프의 이변 량 사례에서 사소한 대칭 제약 조건을 가진 에서 를 추정하는 문제 는 Jean-David Fermanian, Dragan Radulovic 및 Marten Wegkamp (2004)의 접근법과 비슷합니다. 경험적 copula의 약한 수렴 프로세스 , Bernoulli , vol. 10 번 @cardinal이 "다변량 델타 방법"을 표시 한 것처럼 5, 847–860. $f = W / \iint W$ $A$

— 제임스 프리 차드
소스

이것은 위의 2 번과 3 번 문제에 대한 답입니다. 그래도 여전히 질문 1에서 참조를 원합니다 .

때 아직 고려하지 않았습니다 . $\sum Y_i = 0$

고려 다음 아래 첨자가 미분을 나타내는 . 리콜 . 하자 따라서 및 입니다. 또한, $g(A,B) = A/(A+B)$

\begin{aligned} g_{A} (A, B) & = (A + B)^{- 1} + A (A + B)^{- 2} \\ g_{B} (A, B) & = - A (A + B)^{- 2} \\ g_{A A} (A, B) & = 2 B (A + B)^{- 3} \\ g_{A B} (A, B) & = (A - B) (A + B)^{- 3} \\ g_{B B} (B, B) & = 2 A (A + B)^{- 3} \end{aligned}

$\begin{align} g_A(A,B) &= (A+B)^{-1} + A(A+B)^{-2}\\ g_B(A,B) &= -A(A+B)^{-2}\\ g_{AA}(A,B) &= 2B(A+B)^{-3}\\ g_{AB}(A,B) &= (A-B)(A+B)^{-3}\\ g_{BB}(B,B) &= 2A(A+B)^{-3} \end{align}$

p_{i} = f ((i - 1 + U_{i}) / n) / c

$p_i = f((i-1+U_i)/n)/c$

\begin{aligned} R = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{⌈ n t ⌉} Y_{i}, & μ_{R} = E (R) = \int_{0}^{t} p (u) d u = c^{- 1} F (t) \\ S = \frac{1}{n} \sum_{⌈ n t ⌉ + 1}^{n} Y_{i}, & μ_{S} = E (S) = \int_{t}^{1} p (u) d u = c^{- 1} (1 - F (t)) \end{aligned}

$\begin{align} R = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{\lceil nt \rceil} Y_i, \quad& \mu_R = \mathbb{E}(R) = \int_0^t p(u) \, d u = c^{-1}F(t)\\ S = \frac{1}{n}\sum_{\lceil nt \rceil +1}^n Y_i, \quad& \mu_S = \mathbb{E}(S) = \int_t^1 p(u) \, d u = c^{-1}(1-F(t)) \end{align}$

μ_{R} + μ_{S} = c^{- 1} F (t) + c^{- 1} (1 - F (t)) = c^{- 1}

$\mu_R + \mu_S = c^{-1}F(t) + c^{-1}(1-F(t)) = c^{-1}$

g (μ_{R}, μ_{S}) = F (t)

$g(\mu_R, \mu_S) = F(t)$

\begin{aligned} Var (R) & = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{⌈ n t ⌉} Var (Y_{i}) = \frac{1}{n} \int_{0}^{t} f (u) / c (1 - f (u) / c) d u = \frac{1}{n c^{2}} \int_{0}^{t} f (u) (c - f (u)) d u \\ Var (S) & = \frac{1}{n c^{2}} \int_{t}^{1} f (u) (c - f (u)) d u \end{aligned}

$\begin{align} \text{ Var}(R) &= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{\lceil nt \rceil} \text{ Var}(Y_i) = \frac{1}{n} \int_0^t f(u)/c(1-f(u)/c) \, d u = \frac{1}{nc^2} \int_0^t f(u)(c-f(u)) \, d u\\ \text{ Var}(S) &= \frac{1}{nc^2} \int_t^1 f(u)(c-f(u)) \, d u \end{align}$ 의 독립성에 의해 유의하십시오 .

Cov (R, S) = 0

$\text{ Cov}(R,S) = 0$

Y_{i}

$Y_i$

이제 테일러 확장을 사용하여

\begin{aligned} E ({\tilde{F}}_{n} (t)) = E (\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}} \sum_{i = 1}^{⌈ t n ⌉} Y_{i}) = E (\frac{n R}{n R + n S}) = E (\frac{R}{R + S}) = E (g (R, S)) \\ = g (μ_{R}, μ_{S}) + \frac{1}{2} E ((R - μ_{R})^{2}) g_{R R} (μ_{R}, μ_{S}) \\ + E ((R - μ_{R}) (S - μ_{S})) g_{R S} (μ_{R}, μ_{S}) + \frac{1}{2} E ((S - μ_{S})^{2}) g_{S S} (μ_{R}, μ_{S}) + \dots \\ = F (t) + \frac{1}{2} E ((R - μ_{R})^{2}) 2 μ_{S} (μ_{R} + μ_{S})^{- 3} \\ + E ((R - μ_{R}) (S - μ_{S})) (μ_{R} - μ_{S}) (μ_{R} + μ_{S})^{- 3} \\ + \frac{1}{2} E ((S - μ_{S})^{2}) 2 μ_{R} (μ_{R} + μ_{S})^{- 3} + \dots \\ = F (t) + (μ_{R} + μ_{S})^{- 3} (E ((R - μ_{R})^{2}) μ_{S} + E ((R - μ_{R}) (S - μ_{S})) (μ_{R} - μ_{S}) \\ + E ((S - μ_{S})^{2}) μ_{R}) + \dots \\ = F (t) + c^{3} (Var (R) c (1 - F (t)) \\ + Cov (R, S) (c F (t) - c (1 - F (t))) + Var (S) c F (t)) + \dots \\ = F (t) + c^{4} ((\frac{1}{n} \int_{0}^{t} f (u) (c - f (u)) d u) (1 - F (t)) \\ + (\frac{1}{n} \int_{t}^{1} f (u) (c - f (u)) d u) F (t)) + \dots \\ = F (t) + {\tilde{V}}_{F (t)} / n + \dots \\ = F (t) + O (n^{- 1}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mathbb{E}\left(\tilde{F}_n(t)\right) =\mathbb{E}\left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n Y_i} \sum_{i=1}^{\lceil tn \rceil} Y_i \right) =\mathbb{E}\left(\frac{nR}{nR+nS}\right) =\mathbb{E}\left(\frac{R}{R+S}\right) =\mathbb{E}\left(g(R,S)\right)\\ &=g(\mu_R,\mu_S) + \frac{1}{2}\mathbb{E}((R - \mu_R)^2)g_{RR}(\mu_R, \mu_S) \nonumber\\ &\quad + \mathbb{E}((R - \mu_R)(S-\mu_S))g_{RS}(\mu_R, \mu_S) + \frac{1}{2}\mathbb{E}((S - \mu_S)^2)g_{SS}(\mu_R, \mu_S) + \dots \\ &= F(t) + \frac{1}{2}\mathbb{E}((R - \mu_R)^2)2\mu_S(\mu_R+\mu_S)^{-3} \nonumber\\ &\quad + \mathbb{E}((R - \mu_R)(S-\mu_S))(\mu_R-\mu_S)(\mu_R+\mu_S)^{-3} \nonumber\\ &\quad + \frac{1}{2}\mathbb{E}((S - \mu_S)^2) 2\mu_R(\mu_R+\mu_S)^{-3} + \dots\\ &= F(t) + (\mu_R+\mu_S)^{-3} \bigg( \mathbb{E}((R - \mu_R)^2)\mu_S + \mathbb{E}((R - \mu_R)(S-\mu_S))(\mu_R-\mu_S) \nonumber\\ &\quad + \mathbb{E}((S - \mu_S)^2) \mu_R \bigg) + \dots \\ &= F(t) + c^3 \left( \text{ Var}(R)c(1-F(t)) \right. \nonumber\\ &\quad + \left.\text{ Cov}(R,S)(cF(t) - c(1-F(t))) + \text{ Var}(S) cF(t) \right) + \dots \\ &= F(t) + c^4 \left( \left(\frac{1}{n} \int_0^t f(u)(c-f(u)) \, d u\right) (1-F(t)) \right. \nonumber\\ &\quad \left. + \left(\frac{1}{n} \int_t^1 f(u)(c-f(u)) \, d u \right) F(t) \right) + \dots\\ &= F(t) + \tilde{V}_{F(t)}/n + \dots\\ &= F(t) + {\cal O}(n^{-1}) \end{align}$ 여기서 특히

\begin{aligned} {\tilde{V}}_{F (t)} & = c^{2} (\int_{0}^{t} f (u) (c - f (u)) d u) (1 - F (t)) + c^{2} (\int_{t}^{1} f (u) (c - f (u)) d u) F (t) \\ < c^{2} (\int_{0}^{t} c f (u) d u) (1 - F (t)) + c^{2} (\int_{t}^{1} c f (u) d u) F (t) \\ < c^{3} 2 F (t) (1 - F (t)) \end{aligned}

$\begin{align} \tilde{V}_{F(t)} &= c^2\left(\int_0^t f(u)(c-f(u)) \, d u\right) (1-F(t)) + c^2\left(\int_t^1 f(u)(c-f(u)) \, d u \right) F(t)\\ &< c^2\left( \int_0^t cf(u) \, d u\right)(1 - F(t)) + c^2\left( \int_t^1 cf(u) \, d u\right)F(t)\\ &< c^3 2F(t)(1-F(t)) \end{align}$

\begin{aligned} \sqrt{n} ({\tilde{F}}_{n} (t) - F (t)) \overset{d}{\to} N (0, V_{F (t)}) \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{n}\left(\tilde{F}_n(t) - F(t)\right) \overset{d}{\to} N(0,V_{F(t)}) \end{align}$

이것에 문제가 있으면 의견을 말하십시오.

EDITS :

편집 1-

에서 오타가 수정되었습니다 . 질문 4에 대한 의견에 대한 귀하의 제안에 감사드립니다. $V_{F(t)}$

편집 2-

많은 오타가 수정되었습니다. 나는 여러 곳에 가 있어야 했던 을 가졌 습니다. 대한 의 응답을 여전히 해결해야합니다 . $c^{-1}$ $c$ $\sum Y_i = 0$

— 사용자 1448319
소스

친애하는 @user : 이것은 올바른 궤도에 있습니다. 몇 가지 제안이 있습니다. ( 1 ) )의 평균은 적어도 일 때 발생하는 일을 지정하기 전까지는 존재하지 않으므로 답의 분석을 엄격히 말하면 정확하지 않습니다. 동작을 0으로 정의하면 독립 구조가 깨지지 만 모두 손실되지는 않습니다. ( 2 ) 본질적으로, 당신이하고있는 일은 다변량 델타 방법을 적용하는 것입니다. 이것은 의 평균이 필요 하지 경로를 사용하면 더 깨끗하고 정확합니다.

{\tilde{F}}_{n} (t)

$\tilde F_n(t)$

\sum_{i} Y_{i} = 0

$\sum_i Y_i = 0$

{\tilde{F}}_{n} (t)

$\tilde F_n(t)$

— 추기경

( 3 ) 목록의 항목 4는 다음과 같이 처리됩니다. 참고오른쪽의 첫 번째 항인 은그래서 분명히 . 당신은 중기만을 다루기로 남겨졌지만, Markov의 불평등과 Jensen의 불평등에 쉽게 굴복하고 입니다.

sup_{C \subset [0, 1]} \int_{C} | \tilde{F} - F | \leq sup_{[0, 1]} | \tilde{F} - {\tilde{F}}^{⋆} | + \int_{0}^{1} | {\tilde{F}}^{⋆} - E {\tilde{F}}^{⋆} | + O (n^{- 1}) .

$\sup_{C\subset [0,1]} \int_C |\tilde F - F| \leq \sup_{[0,1]} |\tilde F - \tilde F^{\star}| + \int_0^1 |\tilde F^\star - \mathbb E \tilde F^\star| + O(n^{-1})\>.$

{\sum_{i} Y_{i} > 0}

$\{\sum_i Y_i > 0\}$

\leq | 1 - c n^{- 1} \sum_{i} Y_{i} |

$\leq |1 - c n^{-1}\sum_i Y_i|$

O_{p} (n^{- 1 / 2})

$\mathcal O_p(n^{-1/2})$

O_{p} (n^{- 1 / 2})

$\mathcal O_p(n^{-1/2})$

— 추기경

친애하는 @user : 경우를 고려할 필요가없는 것에 대해 귀하의 의견에 더 많은 설명을하는 것이 도움이 될 것 입니다. 설명하는 것은 조건부 샘플링입니다. 의 조건 은 독립적 이지 않거나 조건부 독립적이므로 답의 (암시 적) 분석은 유지되지 않습니다. 이것을 보기 위해 경우를 보는 것이 도움이 될 수 있습니다 ( 테이블을 그리십시오 ).

\sum_{i} Y_{i} = 0

$\sum_i Y_i = 0$

Y_{i}

$Y_i$

{\sum_{i} Y_{i} > 0}

$\{\sum_i Y_i > 0\}$

n = 2

$n=2$

2 \times 2

$2 \times 2$

— 추기경

추가로,따라서이 정의를 단순화 할 수 있습니다.

sup_{C} \int_{C} | \tilde{F} - F | = \int_{0}^{1} | \tilde{F} - F |

$\sup_C \int_C |\tilde F - F| = \int_0^1 |\tilde F - F|$

— 추기경