동등성의 귀무 가설

이 정규 분포 에서 추출한 단순한 랜덤 표본 이라고 가정 합니다. $X_1, X_2, \, ... \, , X_n$ $(\mu,\sigma^2)$

다음과 같은 가설 검정에 관심이 있습니다. 소정의 상수 .

H_{0} : | μ | \leq c H_{1} : | μ | > c,

$H_0: | \mu| \le c \\ H_1: |\mu| > c,$

c > 0

$c > 0$

나는이 일방적 수행하는 생각 일반적인 생물학적 동등성 시험 상황, 널에 유사한 방법으로 -tests (TOST)를하고있다 대신, 이것이 의미가 있는지 또는 올바른지 모르겠습니다. $t$ $|\mu| \ge c$

내 생각은 및 단측 테스트를 수행하는 것입니다 값 중 하나가 유의 수준 보다 작은 경우 .

H_{01} : μ \leq c H_{11} : μ > c

$H_{01} : \mu \le c \\ H_{11} : \mu > c$

H_{02} : μ \geq - c H_{12} : μ < - c,

$H_{02} : \mu \ge -c \\ H_{12} : \mu < -c,$

p

$p$

α

$\alpha$

미리 감사드립니다!

편집하다:

나는 이것에 대해 조금 생각하고 있었고, 내가 제안한 접근법에는 유의 수준 가 없다고 생각합니다 . $\alpha$

의 실제 값 이 이고 가 알려져 있다고 가정하십시오 . $\mu$ $\mu_0$ $\sigma^2$

첫 번째 테스트에서 null을 거부 할 확률은 여기서 는 정규 분포의 표준 cdf이고 는 입니다.

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{01}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}),

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right),$

Φ

$\Phi$

z_{1 - α}

$z_{1-\alpha}$

Φ (z_{1 - α}) = 1 - α

$\Phi(z_{1-\alpha}) = 1-\alpha$

만약 , . 그런 다음 경우 입니다. 또는 경우 입니다. $\mu_0 = c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) = \alpha$ $\mu_0 > c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) > \alpha$ $\mu_0 < c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{01}) <\alpha$

두 번째 테스트에서 널을 거부 할 확률은

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{02}) = Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}}) .

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right).$

다시, 라면 입니다. 마찬가지로 이면 입니다. 마지막으로 이면 입니다. $\mu_0 = -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) = \alpha$ $\mu_0 > -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) < \alpha$ $\mu_0 < -c$ $\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_{02}) > \alpha$

두 테스트의 거부 영역이 분리되어 있으므로 을 거부 할 확률 은 다음과 같습니다. $H_0$

P_{μ_{0}} ({R e j . H}_{0}) = 1 - Φ (z_{1 - α} + \frac{c - μ_{0}}{σ / \sqrt{n}}) + Φ (- z_{1 - α} - \frac{μ_{0} + c}{σ / \sqrt{n}})

$\mathbb{P}_{\mu_0}(\mathrm{Rej.H}_0) = 1 - \Phi \left(z_{1-\alpha} + \frac{c-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right) + \Phi \left(- z_{1-\alpha} - \frac{\mu_0 + c}{\sigma/\sqrt{n}} \right)$

따라서 이면 는 (전역) 귀무 가설을 기각 할 확률의 상한입니다. 그러므로 내가 제안한 접근법은 너무 자유로웠다. $\mu \in [-c,c]$ $2\alpha$

내가 틀리지 않으면 동일한 두 가지 테스트를 수행하고 그중 하나의 값이 보다 작은 경우 null을 거부하여 의 유의 수준을 달성 할 수 있습니다 . 분산을 알 수없고 을 적용해야 할 때도 비슷한 주장이 있습니다 . $\alpha$ $p$ $\alpha/2$ $t$

— Vic101
소스

편집은 올바른 트랙에 있습니다 :-).

— whuber

매우 흥미로운 질문 !!

논리적 결과, 즉 수반 조건을 사용하고 있습니다. 이러한 수반 조건은 고전적 논리의 기초를 형성하며, 전제 결과의 추론 또는 추론을 보장합니다.

귀하의 제안에 대한 추론은 다음과 같습니다.

경우 수반 , 다음 관측 데이터에 대한 더 많은 증거 그린다 보다 . $H_0$ $H_0'$ $H_0$ $H_0'$

당신의 보조 가설의 관점에서 과 , 우리가 ,이라고 수반 도 및 에는 합니다. 따라서 연루 조건에 따라 또는 보다 에 대한 더 많은 증거를 관찰해야합니다 . 그런 다음 또는 에서 계산 된 p- 값 중 하나 가 충분히 작 으면 계산 된 p- 값 이 훨씬 더 작습니다. $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{0} \equiv H_{01} \wedge H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{0}$ $H_{02}$ $H_{0}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_{01}$ $H_{02}$ $H_0$

그러나이 논리적 추론은 p- 값에 유효하지 않습니다. 즉, p- 값은 논리적 결과를 따르지 않습니다. 각 p- 값은 특정 귀무 가설하에 구축되므로 서로 다른 귀무 가설에 대한 p- 값은 다른 메트릭 하에서 계산됩니다. 이러한 이유로 p- 값은 모수 공간 (또는 귀무 가설의 공간)에 대한 논리적 추론을 존중할 수 없습니다.

p- 값이 수반 조건을 위반하는 예는 Schervish (1996) 및 Patriota (2013)에 제시되어 있습니다. 후자 종이 이변 량 정규 분포 및 회귀 모델 나타낸다로서는 (예, 각각의 페이지 5 및 6에 대한 1.1와 1.2를 참조). Eran Raviv 는 이변 량 사례에 대한 R 코드의 알고리즘을 제공합니다. 이러한 예에서 얻은 교훈은 다음과 같습니다. 관심있는 귀무 가설에 대해 p- 값을 직접 계산해야합니다. Schervish (1996)는 및 일 때 예제에 p- 값의 공식을 제공합니다 . 204 페이지의 공식 (2)를 참조하십시오. p- 값을 계산하려면 해당 공식에 적합해야합니다. 너의 경우. $n=1$ $\sigma^2 = 1$

Patriota (2013)는 논리적 결과를 고려한 일반 귀무 가설 (복합 또는 단순 귀무 가설)을 테스트하기위한 새로운 증거 측정 방법을 제안합니다. 이 측정을 종이에서 s- 값이라고합니다. 예를 들어 절차는 비교적 간단합니다.

(점근선 )에 대한 (1- ) 신뢰 구간을 찾으십시오 . 여기서 는 표본 평균이고 는 표본 분산입니다. , 는 IS 표준 정규 분포의 분위수 및 샘플의 크기이다. $\alpha$ $\mu$ $I(\mu, \alpha) = \bigg[\bar{x} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}} \ ; \ \bar{x} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{s^2}{n}}\bigg]$ $\bar{x}$ $s^2$ $z_{{\alpha}/{2}}$ ${\alpha}/{2}$ $n$
의 진폭 이 최소이고 와 공통 인 요소가 하나 이상 있는 값을 찾습니다 (예 : 의 경계선) ). 이 는 값입니다. $\alpha^*$ $I(\mu, \alpha^*)$ $\{-c, c\}$ $[-c,c]$ $\alpha^*$ $s$
한편으로, 이면 관측 된 표본이 귀무 가설 과 확증됩니다 ; (가) 경우 - 값은 당신이 널 (null)을 받아 들일 수있을 정도로 작은입니다. 반면, 이면 관측 된 표본이 귀무 가설 ; (가) 경우 - 값은 당신이 널을 거부 할 수있을 정도로 작은입니다. 그렇지 않으면 널을 거부하거나 승인해서는 안됩니다. $\bar{x} \in [-c,c]$ $H_0: |\mu|\leq c$ $s$ $\bar{x} \not \in [-c,c]$ $H_0$ $s$

통지, 그 경우 과 각 - 값이 매우 작고, 대립 가설 매우 멀리 최대 값 그럴듯한 있음이 수단 . 만약 과 각 - 값이 매우 작고, 귀무 가설이 매우 멀리 그럴듯한 최대 값 있음이 방법 . 결론을 더 잘 이해하기 위해 신뢰 구간과 귀무 가설을 나타내는 그림을 그리십시오. 자세한 내용은 원본 논문 Patriota (2013)를 참조하십시오. $\bar{x}\in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$ $\bar{x}\not \in [-c,c]$ $s$ $\bar{x}$

이 값 을 사용하여 널을 승인하거나 거부하기위한 객관적인 임계 값을 찾는 방법 은 여전히 미해결 문제입니다. 이 접근법은 이제 우리가 귀무 가설을 받아 들일 수 있기 때문에 좋습니다. 이것은 관측 된 샘플이 널과 일치하고 대안에서 멀리 떨어져있을 때마다 의미가 있습니다. 귀하의 예에서는 , , 및 입니다. 데이터 밀도가 (표준 오류의 10 배) 에 극도로 집중되어 있음을 보는 것은 매우 간단합니다 . 과 비어 있지 않은 교차를 하려면 99900 표준 오류가 필요합니다. 그러므로 받아 들일만큼 공평 할 것입니다 $s$ $c = 1000$ $\bar{x} = 1$ $s^2 = 1$ $n=10000$ $[0.9, \ 1.1]$ $[-1000, \ 1000]$ $H_0: |\mu| \leq c$ 이 경우 .

참고 문헌 :

애국자 애국자 (2013). 일반적인 귀무 가설, 퍼지 세트 및 시스템에 대한 전형적인 증거 측정, 233, 74–88

메릴랜드 주 스체 비쉬 (1996). P 값 : 현재 상태와 현재 상태, 미국 통계 학자, 50, 203–206.

— 알렉산드리아 패트리 어타
소스