분산 분석의 가정 정규성 / 정규 분포

ANOVA 의 Wikipedia 페이지에는 세 가지 가정이 나열되어 있습니다 .

• 사례의 독립성 – 이것은 통계 분석을 단순화하는 모델의 가정입니다.
• 정규성 – 잔차 분포가 정상입니다.
• 균일 성이라고하는 분산의 평등 (또는 "균질성")

여기서 관심 지점은 두 번째 가정입니다. 여러 출처에서 가정을 다르게 나열합니다. 일부는 원시 데이터의 정규성을 말하고 일부는 잔차를 주장합니다.

몇 가지 질문이 나타납니다.

• 잔차의 정규성과 정규 분포는 같은 사람입니까 (위키 백과 항목을 기준으로, 정규성이 속성이라고 주장하고 잔차를 직접적으로 포함하지는 않습니다 (그러나 잔차의 속성은 괄호 안에 깊게 중첩 된 텍스트 일 ​​수 있습니다))?
• 그렇지 않다면 어떤 가정을 견뎌야합니까? 하나? 양자 모두?
• 정규 분포 잔차의 가정이 올바른 경우, 우리는 정규 값에 대한 원시 값의 막대 그래프 만 검사하여 중대한 실수를 저지르고 있습니까?

이것이 고정 효과 모델 이라고 가정 해 봅시다 . (임의의 효과 모델은 실제로 변경되지 않으며 조금 더 복잡해집니다.)

1. 아니오, 잔차의 정규 분포와 정규 분포는 동일하지 않습니다 . 비료를 사용하거나 사용하지 않은 작물의 수확량을 측정했다고 가정합니다. 비료가없는 플롯에서 수율은 70에서 130 사이였다. 비료가있는 두 플롯에서 수율은 470에서 530까지였다. 결과 분포는 매우 비정규 적이다. 이는 비료 적용과 관련된 두 위치에 모여있다. 또한 평균 수율이 각각 100과 500이라고 가정합니다. 그런 다음 모든 잔차의 범위는 -30에서 +30입니다. 그것들은 정규 분포 일 수도 있고 아닐 수도 있지만, 이것은 분명히 완전히 다른 분포입니다.

2. 잔차 의 분포 는 모형의 임의 부분을 반영하기 때문에 중요 합니다. p- 값은 F (또는 t) 통계량에서 계산되며 원래 값이 아닌 잔차에 따라 달라집니다.

3. (이 예에서와 같이) 데이터에서 의미 있고 중요한 효과가있는 경우에, 당신은 할 수 는 "무덤"실수를 할 수 . 운 좋게도 올바른 결정을 내릴 수 있습니다. 즉, 원시 데이터를 보면 분포가 혼합되어 있으며 이는 정상적인 것처럼 보일 수 있습니다. 요점은 당신이보고있는 것이 관련이 없다는 것입니다.

모형에 적합하기 위해 ANOVA 잔차가 법선에 가까운 곳에있을 필요는 없습니다. 그러나 F- 분포에서 계산 된 p- 값이 의미를 갖기 위해서는 잔차의 정규성이 거의 필요 합니다.

표준 클래식 일원 분산 분석은 클래식 "2- 샘플 T- 검정"을 "n- 샘플 T- 검정"으로 확장 한 것으로 볼 수 있습니다. 이는 일원 분산 분석을 두 그룹으로 만 비교하여 기존의 2- 표본 T- 검정과 비교하여 볼 수 있습니다.

나는 당신이 혼란스러워하는 곳은 (모델의 가정 하에서) 잔차와 원시 데이터가 모두 정규 분포되어 있다는 것입니다. 그러나 미가공 데이터는 평균 이 다른 정규 분포 (모든 효과가 정확히 동일하지 않은 경우)이지만 분산 은 동일 합니다. 반면에 잔차는 동일한 정규 분포를 갖습니다 . 이것은 동성애의 세 번째 가정에서 비롯됩니다.

$Y_{ij}$$\mu_{j}$$\sigma^2$$Y_{ij}=\mu_{j}+\sigma\epsilon_{ij}$$\epsilon_{ij}$

$\epsilon_{ij}$

$Y_{ij}$

$p$$n_{j}$$F = \frac{SS_{b} / df_{b}}{SS_{w} / df_{w}}$

$SS_{b} = \sum_{j=1}^{p}{n_{j} (M - M_{j}})^{2}$

$SS_{w} = \sum_{j=1}^{p}\sum_{i=1}^{n_{j}}{(y_{ij} - M_{j})^{2}}$

$F$$F$$SS_{b} / df_{b}$$SS_{w} / df_{w}$$\chi^{2}$$df_{b}$$df_{w}$$SS_{b}$$SS_{w}$$0$$M-M_{j}$$y_{ij}-M_{j}$

$y_{i(j)} - M_{j}$$Y = \mu_{j} + \epsilon = \mu + \alpha_{j} + \epsilon$$y_{i(j)} - M$$Y = \mu + \epsilon$$M - M_{j}$

$H_{0}$$M$$y_{i(j)} - M_{j}$$M - M_{j}$