엄격한 폰 노이만 불평등의 예

하자 추정기의 베이 즈 위험 나타낸다 종래에 대해 ,하자 상기 파라미터 공간의 모든 전과 세트 나타낸다 및하자 들의 세트를 나타낸다 모든 (아마도 무작위 화 된) 결정 규칙. $r(\pi, \delta)$ $\delta$ $\pi$ $\Pi$ $\Theta$ $\Delta$

John von Neumann의 최소 최대 불평등에 대한 통계적 해석은

sup_{π \in Π} inf_{δ \in Δ} r (π, δ) \leq inf_{δ \in Δ} sup_{π \in Π} r (π, δ),

$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$

와 가 모두 유한 일 때 일부 $\delta'$ 와 대해 엄격한 동등성을 보장합니다 . $\pi'$ $\Theta$ $\Delta$

누군가 불평등 이 엄격한 구체적인 예를 제시 할 수 있습니까 ?

bayesian decision-theory risk

— 새긴 금
소스

이 수학 포럼에서 순수 수학 예 .

— 시안

엄격한 폰 노이만 불평등의 예는 위험 함수 이 일부 값 (이전 값이 "낮음"이고 후자가 "높음")에 대해 다음 조건을 만족할 때 발생합니다 . $r$ $r_0 < r_1$

\begin{matrix} \forall π \in Π, \exists δ \in Δ : & r (π, δ) = r_{0}, & (1) \\ \forall δ \in Δ, \exists π \in Π : & r (π, δ) = r_{1} . & (2) \end{matrix}

$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$

첫 번째 조건에 관계없이 이전의, 항상 저 위험으로 의사 결정 규칙이 있음을 말한다 제공, 입니다. 두 번째 조건은 의사 결정 규칙에 관계없이 항상 위험이 높은 을 제공하는 것으로, . $r_0$ $\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$ $r_1$ $\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

이 상황을 나타내는 또 다른 방법은 모든 이전 (때때로 위험이 높을 수 있음)에 대해 낮은 위험을 보장하는 의사 결정 규칙 (이전을보기 전에 선택)이 없지만 모든 이전에 대해 일부 결정 규칙 (보고 후 선택)이 있다는 것입니다 낮은 위험을 보장합니다. 다시 말해서, 위험에 대한 한계를 정하기 위해 우리는 결정 규칙을 이전에 적용해야합니다 .

예 : 이런 종류의 상황에 대한 간단한 예는 다음 과 같은 위험 매트릭스를 가진 허용 가능한 사전 쌍 및 허용 결정 규칙 쌍 이있을 때 발생합니다. $\pi_0, \pi_1$ $\delta_0, \delta_1$

\begin{array}{ll} r (π_{0}, δ_{0}) = r_{0} & r (π_{1}, δ_{0}) = r_{1}, \\ r (π_{0}, δ_{1}) = r_{1} & r (π_{1}, δ_{1}) = r_{0} . \end{array}

$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$

이 경우, 이전의 두 가지 모두에 대해 낮은 위험을 보장하는 결정 규칙은 없지만 각 이전에 대해 낮은 위험을 갖는 결정 규칙이 있습니다. 이러한 상황은 폰 노이만 불평등에서 엄격한 불평등을 제공하는 상기 조건을 만족시킨다.

— 벤-복원 모니카
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