여러 기간으로 차이 모델의 차이 지정

두 개의 기간으로 차이 모형의 차이를 추정하면 동등한 회귀 모형은

ㅏ. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

• 여기서 는 관찰이 처리 그룹에서 온 경우 1과 동일한 더미입니다.$Treatment$
• 및 치료가 발생한 후 기간 1과 동일 더미는$d$

따라서 방정식은 다음 값을 갖습니다.

• 치료 전 대조군 :$\alpha$
• 치료 후 대조군 :$\alpha +\lambda$
• 치료 전 치료군 :$\alpha +\gamma$
• 치료 후 치료군 : $\alpha+ \gamma+ \lambda+ \delta$

따라서 두 기간 모형에서 차이 추정치의 차이는 입니다.$\delta$

그러나 치료 전후 기간이 둘 이상인 경우 어떻게됩니까 ? 1 년이 치료 전후인지 여부를 나타내는 더미를 계속 사용합니까?$d_t$

또는 매년 치료 전 또는 치료 기간 중 어느 것이 속하는지 지정하지 않고 연도 인형을 추가합니까? 이처럼 :

비. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

아니면 둘 다 포함 할 수 있습니까 (예 : )?$yeardummy +\lambda d_t$

씨. $Y_{ist} = \alpha +\gamma_s*Treatment + yeardummy + \lambda d_t + \delta*(Treatment*d_t)+ \epsilon_{ist}$

결론적으로, 여러 기간 (a, b 또는 c)으로 차이 모델의 차이를 어떻게 지정합니까?

두 개 이상의 기간으로 차이 모델의 차이를 추정하는 일반적인 방법은 제안 된 솔루션입니다 b). 표기법을 유지하면 여기서 D t ≡ 처리 s ⋅ d t 는 더미 변수입니다. 처리 장치

$$Y_{ist} = \alpha +\gamma_s (\text{Treatment}_s) + \lambda (\text{year dummy}_t) + \delta D_{st} + \epsilon_{ist}$$ $D_t \equiv \text{Treatment}_s\cdot d_t$$s$후 처리 기간 ( )에서 그렇지 않으면 0이다. 이것은 상이한 처리 단위에 대한 상이한 처리시기를 허용하는 차이 회귀의 차이의보다 일반적인 공식 임에 유의한다.$d_t = 1$

의견에서 올바르게 지적했듯이 제안 된 해결책 c)는 시간 더미와의 공선 성과 치료 후 기간의 더미로 인해 작동하지 않습니다. 그러나 이것의 약간의 변형은 견고성 점검으로 판명되었습니다. 하자 과 γ 의 1 일 각 제어 유닛에 대한 가변 수의 두 세트 들 0 및 각 처리 유닛 의 하나 를 각각 그 시간 변수와 처리 단위 인형 상호 작용 t 및 회귀 Y를 I s의 t = γ s 0 + γ s 1$\gamma_{s0}$$\gamma_{s1}$$s0$$s1$$t$ 는 단위 특정 시간 추세 γ s 1 t를 포함 합니다. 이러한 단위 별 시간 추세를 포함하고 차이 계수 δ 의 차이가크게 변하지 않으면 결과에 대해 더 확신 할 수 있습니다. 그렇지 않으면 근본적인 시간 추세 (정책이 다른 시점에서 시작될 때 발생할 수 있음)로 인해 처리 효과가 처리 된 유닛 간의 차이를 흡수했는지 궁금 할 수 있습니다.

$$Y_{ist} = \gamma_{s0} + \gamma_{s1}t + \lambda (\text{year dummy}_t) + \delta D_{st} + \epsilon_{ist}$$ $\gamma_{s1}t$$\delta$

Angrist and Pischke (2009)에서 인용 된 사례 대부분 무해한 계량 경제학은 Besley and Burgess (2004) 의 노동 시장 정책 연구 입니다. 그들의 논문에서, 국가-특정 시간 추세의 포함은 추정 된 치료 효과를 죽인다. 이 견고성 검사를 위해서는 3 개 이상의 기간이 필요합니다.

$\gamma_{1s}$

Angrist와 Pischke (2009)는 238 페이지의 대부분 무해한 계량 경제학 에서이 방법을 권장합니다 . 표기법의 차이로 인해 혼란이 발생할 수 있습니다. 규격 재현 5.2.7 :

$$y_{ist} = \gamma_{0s} + \gamma_{1s} t + \lambda_{t} + \delta D_{st} + X^{'}_{ist}\beta + \varepsilon_{ist},$$

where $\gamma_{0s}$ is a state-specific intercept, in accordance with the $s$ subscript used in their book. You can view $\gamma_{1s}$ as the state-specific trend coefficient multiplying the time trend variable, $t$. Different papers use different notation. For example, Wolfers (2006) replicates a model incorporating state-specific linear time trends. Reproducing model (1):

$$y_{s,t} = \sum_{s} State_{s} + \sum_{t} Year_{t} + \sum_{s} State_{s}*Time_{t} + \delta D_{s,t} + \varepsilon_{s,t},$$

where the model includes state and year fixed effects (i.e., dummies for each state and year). The treatment variable $D_{s,t}$ is when state $s$ adopts a unilateral divorce regime in period $t$. Notice this specification interacts state dummies with a linear time trend (i.e., $Time_{t}$). This is yet another representation of state-specific linear time trends in your model specification.

Unit-specific linear time trends is also addressed in another post (see below):

How to account for endogenous program placement?

In sum, you want to interact all unit (group) dummies with a continuous time trend variable.

Paper by Justin Wolfers is below for your reference:

https://users.nber.org/~jwolfers/papers/Divorce(AER).pdf