비 중심 t 분포의 중앙값은 무엇입니까?

비 중심 모수가 비 중심 t 분포 의 중앙값은 $\delta \ne 0$얼마입니까? CDF가 무한한 합계로 표시되어 역 CDF 함수에 대한 정보를 찾을 수 없기 때문에 이것은 희망이없는 질문 일 수 있습니다.

근사 할 수 있습니다.

예를 들어, 1에서 20까지의 (자유도) 및 0에서 5의 (비 중심 모수)에 대해 1/2의 단계로 다음과 같은 비선형 피팅을 만들었습니다 . 허락하다$\nu$$\delta$

$$a(\nu) = 0.963158 + \frac{0.051726}{\nu-0.705428} + 0.0112409\log(\nu),$$

$$b(\nu) = -0.0214885+\frac{0.406419}{0.659586 +\nu}+0.00531844 \log(\nu),$$

과

$$g(\nu, \delta) = \delta + a(\nu) \exp(b(\nu) \delta) - 1.$$

이어서 위해 내 0.15 평균 추정 대 0.03 에 대해 0.015 , 및 대 .007 .ν = 1 ν = 2 ν = 3 ν = 4 , 5 , … , $g$$\nu=1$$\nu=2$$\nu=3$$\nu = 4, 5, \ldots, 20$

추정은 1에서 20까지 의 ν의 각 값에 대한 와 b 의 값을 계산 한 다음 a 와 b 를 ν에 개별적으로 피팅 하여 수행 되었습니다 . 이러한 적합에 적합한 기능적 형태를 결정하기 위해 a 와 b의 도표를 조사했습니다 .$a$$b$$\nu$$a$$b$$\nu$$a$$b$

관심있는 이러한 매개 변수의 간격에 초점을두면 더 잘 수행 할 수 있습니다. 특히, 실제로 작은 값의 관심이 없다면 이러한 추정치를 쉽게 개선 할 수 있습니다 (0.005 이내).$\nu$

다음은 ν = 1에 대한 중앙값 대 플롯 , 가장 어려운 경우 및 δ 대 음의 잔차 (진정한 중앙값에서 대략적인 값)입니다 .$\delta$$\nu=1$ $\delta$

잔차는 중앙값에 비해 실제로 작습니다.

BTW, 최소 자유도를 제외한 모든 중앙값의 중앙값은 비 중심 모수에 가깝습니다. 여기에 0에서 5까지의 와 1에서 20까지의 ν (실제 매개 변수로 처리) 에 대한 중앙값의 그래프가 있습니다.$\delta$$\nu$

$\delta$δ $\delta$$\delta$$\nu$

만약 당신이 (자유도) ν> 2에 관심이 있다면, 다음과 같은 점근 적 표현은 [중심적인 학생 -t Quantile에 대한 보간 근사로부터 DL Bartley, Ann. 점령. Hyg., Vol. 2008, 52]는 많은 목적을 위해 충분히 정확합니다.

 Median[ t[δ,ν] ] ~ δ(1 + 1/(3ν)).

ν> 2 인 경우, 비 중앙 스튜던트 t 중앙값에 대한 상기 표현의 편향의 최대 크기는 약 2 %이고 ν가 증가함에 따라 빠르게 떨어진다. 등고선 다이어그램은 비 중앙 스튜던트 t 중앙값에 대한 점근 적 근사의 편향을 보여줍니다.