동일한 모멘트를 갖는 분포가 동일한 지 여부

다음은 여기 및 여기의 이전 게시물과 비슷하지만 다릅니다.

distributions lognormal moments mgf

— 팀
소스

질문 # 2에 따르면, 일반적으로 두 함수가 동일한 MGF를 갖는 경우 (0의 열린 이웃에있는 경우) 동일한 분포를 따릅니다. 불행히도 나는 그 증거가 매우 복잡하기 때문에 그 증거를 모른다. 희망이 조금 도움이됩니다.

— nicefella

@nicefella 증거는 비교적 쉽다 : 허수 값에서 MGF를 평가하면 분포를 생성하기 위해 반전 될 수있는 특징적인 기능을 제공한다. MGF가 원점 부근에서 분석되는 경우 역전 작업.

— whuber

역순으로 답변하겠습니다.

2. 네. MGF가 존재하면 동일합니다 *.

예를 들어 여기 와 여기 를 참조 하십시오

실제로 이것은 당신이 게시물에서 제공 한 결과에서 나옵니다. MGF가 고유하게 분포를 결정하고 두 분포에 MGF가 있고 동일한 분포를 갖는 경우 동일한 MGF를 가져야합니다.

* '거의 어디에나'라는 문구로 인해 '같은'의 특정 값에 대해

** ' 거의 어디에나 '

Kendall과 Stuart는 연속 배포 제품군 (Stieltjes 또는 그 빈티지의 누군가로 인한 것일 수도 있지만 필자의 기억은 분명하지 않지만 수십 년이 지났음)은 동일한 모멘트 시퀀스를 가지고 있지만 여전히 다릅니다.

Romano와 Siegel (확률 및 통계의 카운터 예)에는 3.14 및 3.15 (48-49 페이지)의 반대 예가 나와 있습니다. (실제로 그것들을 보면, 둘 다 Kendall과 Stuart에 있다고 생각합니다.)

Romano, JP and Siegel, AF (1986),
확률과 통계의 반대 사례.
보카 레이 톤 : 채프먼과 홀 / CRC.

3.15의 경우 Feller, 1971, p227을 신용합니다

두 번째 예는 밀도 군과 관련이 있습니다

에프 (엑스; α) = \frac{1}{24} 특급 (- {엑스}^{1 / 4}) [1 - α 죄 ({엑스}^{1 / 4})], 엑스 > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

$\alpha$

$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

두 번째 부분이 각 순간에 0을 기여한다는 것을 보여 주므로 모두 첫 번째 부분의 순간과 동일합니다.

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

같은 순간, 다른 밀도의 예

아마도 훨씬 더 큰 범위를 취하고 x 축에서 네 번째 루트 스케일을 사용하여 파란색 곡선을 직선으로 만들고 녹색을 위아래로 죄 곡선처럼 움직이는 것이 더 좋습니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

더 크든 작든 파란색 곡선 위와 아래의 흔들림은 모든 양의 정수 모멘트를 변경하지 않은 것으로 나타났습니다.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b-복귀 모니카
소스

감사! 두 번째 질문에 대한 답장에서 "특정 '동일한 값"에 대해 무엇을 의미합니까? 첫 질문에 반례를 줄 수 있습니까?

— Tim

그것은 단순히 이전 질문에있는 '거의 모든 곳'에 의해 야기 된 필요한 자격에 대한 언급 일뿐입니다. 따라서 반대의 예는 거의 모든 곳에서 동일하지만 셀 수있는 점의 부분 집합에서 다른 밀도 함수를 볼 수 있습니다. 이미 이전에 예를 들었습니다.

— Glen_b-복지국 모니카

첫 번째 질문 (두 번째 질문과 이전 게시물의 내 질문에 대한 귀하의 답변에 따라)에 대해 두 배포판이 순간 생성 기능을 허용하지 않는 경우 모든 반례가 사건에 속합니까?

— Tim

"mgf가 0을 포함하는 열린 간격에서 유한 한 경우 연관된 분포는 그 순간으로 특징 지워진다"라는 말의 결과로 그렇다. mgf가 그 의미에서 유한하지 않은 경우, 분포가 모멘트에 의해 특성화되지 않는 유일한 방법입니다.

— Glen_b-복지국 모니카

첫 번째 질문은 stats.stackexchange.com/questions/25010/… 및 OP의 최근 질문 stats.stackexchange.com/questions/84158/… 에서 답변되었습니다 . Feller의 사례는 Stuart & Ord의 Stieltjes (Feller의 시대 이전)에 기인합니다.

— whuber