공간 프로세스에 대한 파라미터 추정

나는 주어진있어 양의 정수 값의 격자. 이 숫자는 그리드 위치를 점유하는 사람의 믿음의 강도 (높은 믿음을 나타내는 높은 값)에 해당하는 강도를 나타냅니다. 사람은 일반적으로 여러 그리드 셀에 영향을 미칩니다.$n\times n$

나는 강도의 패턴이 "가우시안 (Gaussian)"이되어야한다고 생각하는데, 이는 강도의 중심 위치가있을 것이고, 그 강도는 모든 방향으로 방사상으로 가늘어진다. 구체적으로, 분산에 대한 매개 변수와 스케일 팩터에 대한 매개 변수를 사용하여 "스케일 가우시안"에서 오는 값을 모델링하고 싶습니다.

두 가지 복잡한 요소가 있습니다.

• 사람이 없으면 배경 소음 및 기타 효과로 인해 0 값에 해당하지 않지만 값은 작아야합니다. 그러나 불규칙 할 수 있으며 첫 번째 근사에서는 단순한 가우스 잡음으로 모델링하기가 어려울 수 있습니다.
• 강도 범위는 다를 수 있습니다. 일례로, 값의 범위는 1 내지 10, 다른 경우는 1 내지 100 일 수있다.

적절한 매개 변수 추정 전략 또는 관련 문헌에 대한 포인터를 찾고 있습니다. 내가 왜이 문제에 접근하고 있는지에 대한 포인터는 모두 잘못 인식 될 것입니다 :). 나는 kriging과 Gaussian 프로세스에 대해 읽었지만 내 문제에 매우 무거운 기계처럼 보입니다.

아래에서 설명하는 공간 데이터 분석 방법에 pysal python 라이브러리 의이 모듈을 사용할 수 있습니다 .

각 사람의 태도가 주변 사람들의 태도에 의해 어떻게 영향을 받는지에 대한 설명은 공간 자기 회귀 모델 (SAR) 로 나타낼 수 있습니다 ( 이 SE 답변 2의 간단한 SAR 설명 참조 ). 가장 간단한 방법은 다른 요소를 무시하고 Moran의 I 통계량 을 사용하여 주변 사람들이 서로의 태도에 미치는 영향의 강도를 추정하는 것 입니다.

더 복잡한 작업 인 주변 사람들의 영향 강도를 추정하면서 다른 요인의 중요성을 평가하려면 회귀 매개 변수를 추정 할 수 있습니다 : . 여기 에서 문서를 참조하십시오 (이 유형의 회귀를 추정하는 방법은 공간 계량 경제학 분야에서 나 왔으며 내가 준 참조보다 훨씬 더 정교해질 수 있습니다).$y = bx + rhoWy + e$

당신의 도전은 공간 가중치 행렬 ( ) 을 구축하는 것 입니다. 나는 행렬의 각 요소 가 사람 가 다른 사람 에 영향을 줄 필요가 있다고 생각하는 거리 내에 있는지 여부에 따라 1 또는 0이어야한다고 생각합니다 .w i j i $W$$w_{ij}$$i$$j$

이 문제에 대한 직관적 인 아이디어를 얻기 위해, 아래에서는 공간 자기 회귀 데이터 생성 프로세스 (DGP)가 어떻게 패턴을 만드는지 보여줍니다. 시뮬레이션 된 값의 2 개의 격자에 대해 흰색 블록은 높은 값을 나타내고 어두운 블록은 낮은 값을 나타냅니다.

아래의 첫 번째 격자에서 모눈 값은 정규 분포 랜덤 프로세스 (또는 가우스)에 의해 생성되었으며, 여기서 는 0입니다.$rho$

아래의 다음 격자에서 격자 값은 공간 자기 회귀 과정에 의해 생성되었으며, 여기서 는 .8과 같이 높은 것으로 설정되었습니다. $rho$

다음은 간단한 아이디어입니다. 의견에서 말했듯이 강도가있는 그리드가 있다면 왜 이변 량 분포의 밀도에 맞지 않습니까?

내 요점을 설명하는 샘플 그래프는 다음과 같습니다.

각 그리드 포인트는 강도에 따라 색상이 정사각형으로 표시됩니다. 이변 량 정규 밀도 도표의 등고선 도표가 그래프에 겹쳐져 있습니다. 보시다시피 등고선은 강도가 감소하는 방향으로 확장됩니다. 중심은 이변 량 법선의 평균과 공분산 행렬에 따른 강도의 확산에 의해 제어됩니다.

평균 및 공분산 행렬의 추정치를 얻으려면 간단한 수치 최적화를 사용할 수 있습니다. 평균 및 공분산 행렬을 매개 변수로 사용하여 밀도 함수 값과 강도를 비교하십시오. 추정치를 얻기 위해 최소화하십시오.

이것은 물론 통계적으로 추정하는 것이 아니지만 적어도 더 진행하는 방법에 대한 아이디어를 줄 것입니다.

그래프를 재현하는 코드는 다음과 같습니다.

require(mvtnorm)
sigma=cbind(c(0.1,0.7*0.1),c(0.7*0.1,0.1))

x<-seq(0,1,by=0.01)
y<-seq(0,1,by=0.01)
z<-outer(x,y,function(x,y)dmvnorm(cbind(x,y),mean=mean,sigma=sigma))

mz<-melt(z)

mz$X1<-(mz$X1-1)/100
mz$X2<-(mz$X2-1)/100

colnames(mz)<-c("x","y","z")

mz$intensity<-round(mz$z*1000)

ggplot(mz, aes(x,y)) + geom_tile(aes(fill = intensity), colour = "white") + scale_fill_gradient(low = "white",     high = "steelblue")+geom_contour(aes(z=z),colour="black")

모형이 2 차원 랜덤 필드 이고 정수 값 랜덤 변수 의 결합 분포를 추정하려고합니다 . 공간적 불안정성을 가정 할 수 있습니다. 즉, 의 공동 분포는 의 공동 분포와 . 특히, 한계 분포는 모든 셀에 대해 동일합니다. 간단한 질문은 해당 분야의 자기 상관 구조입니다. 즉, 거리 은 무엇입니까? 이것을 함수 로 나타냅니다$X[i,j]$$X[i,j]$$(X[i_1,j_1],...,X[i_m,j_m])$$(X[i_1+k,j_1+l]...,X[i_m+k,j_m+l])$d ( [ i 1 , j 1 ] , [ i 2 , j 2 ] ) ρ ( $corr(X[i_1,j_1],X[i_2,j_2])$$d([i_1,j_1],[i_2,j_2])$$\rho(d)$. 자기 상관 구조의 간단한 모델은 . 여기서 는 상수입니다.$\rho(d)=kd^{-1}$$k$

'가우시안 (Gaussian)'효과는 2 차 거리 함수에 해당하지만, 택시 노름 와 같이 고려해야 할 다른 거리 함수가 많이 있습니다.. 거리 함수와 자기 상관 모델의 형태를 결정하고 나면 최대 가능성을 통해 를 추정하는 것은 간단 합니다. 더 많은 아이디어를 얻으려면 "랜덤 필드"를 찾으십시오.ρ ( 일 $d([i_1,j_1],[i_2,j_2]) = |i_1-i_2|+|j_1-j_2|$$\rho(d)$