코시 분포에서 위치 모수의 MLE

중심을 설정 한 후 두 측정 x 및 -x 는 확률 밀도 함수를 사용하여 Cauchy 분포에서 독립적으로 관측 한 것으로 가정 할 수 있습니다.

$f(x :\theta) =$ ,−∞<x<$1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

경우에 있다고보기 의 MLE θ는 0이지만, 경우 X 2 > 1 개의 MLE의의가있다 θ를 , 동일하게 ± $x^2≤ 1$$\theta$$x^2>1$$\theta$$\sqrt {x^2-1}$

나는 로그 가능성을 차별화 해야하는 MLE을 찾는다고 생각합니다.

=∑2(xi−θ$dl\over d\theta$ $=\sum$ =2(−x−θ$2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ +2(x−θ$2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ =$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

그래서,

=2(x+θ$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

그런 다음로 단순화했습니다.

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

이제 나는 벽에 부딪쳤다. 아마 어느 시점에서 잘못되었을 수도 있지만 어느 쪽이든 질문에 어떻게 대답 해야할지 모르겠습니다. 누구든지 도울 수 있습니까?

계산에 수학 오타가 있습니다. 최대의 첫 번째 주문 조건은 다음과 같습니다.

$$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$$

$x^2\leq 1$$\hat \theta =0$

$x^2 >1$$2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$$\theta =0$

$$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$$

$\hat \theta =0$

추가

$x =\pm 0.5$

$x =\pm 1.5$

이제 당신이해야 할 일은 대수적으로 그것을 증명하고 나서 "괜찮아요. 둘 중 어느 것을 선택해야합니까?"