경계가있는 그래프에서 색도 근사 경도

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경계가있는 그래프의 정점 채색에 대한 경도 결과를 찾고 있습니다.

그래프 주어 , 우리가 알고있는 어떤을위한 , 그것은 대략 어렵다 배에서 하지 않는 한 [ 1 ]. 그러나 의 최대 정도 가 묶이면 어떻게 될까요? 이 경우 (일부 ) 형식의 경도 비율 이 있습니까? $G(V,E)$ $\epsilon>0$ $\chi(G)$ $|V|^{1-\epsilon}$ $\textit{NP}=\textit{ZPP}$ $G$ $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon$

더 쉬운 질문은 가장자리 크기가 의해 경계가 정해져있을 때 가장자리 색차 수의 하이퍼 그래프를 근사화하는 경도입니다 . 이 경우 경도 비율을 기대할 수 있습니까 ? (즉, ) $d$ $d^{1-\epsilon}$ $\epsilon >0$

주목 해 주셔서 감사합니다!

— afshi7n
소스

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분리 된 정점으로 하드 인스턴스를

— 채울

2

예. 그러나 시작하는 하드 인스턴스의 크기에 유한 경계를 설정하면 하드가 중지됩니다.

— David Eppstein 2016 년

1

@Sasho 분리 된 정점이 색도 또는 최대도를 증가시키지 않을 때 어떻게 도움이됩니까?

— afshi7n

2

@DavidEppstein 은 과 가 여전히 polynomially 관련된 경우에만이 패딩을 증명합니다 . OP, 그것은 실제로 정확히 요점입니다. 내에서 를 근사하기 어려운 개의 정점 (최대 )을 가진 인스턴스로 시작 합니다. 분리 된 정점을 추가 합니다. 는 동일하게 유지되고 최대 학위는 유지됩니다 . 경우 폴리 타임 입니다. 따라서 모든 정수 에 대해 최대 차수 인스턴스 가 있으며 를 근사하기가 어렵습니다.

n

$n$

d

$d$

d

$d$

d

$d$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

n - d

$n - d$

χ

$\chi$

d

$d$

N = d^{O (1)}

$N = d^{O(1)}$

k

$k$

d = n^{1 / k}

$d = n^{1/k}$

χ

$\chi$

d^{1 - ϵ}

$d^{1-\epsilon}$

— Sasho Nikolov 2016 년

업데이트 : 추가 가정없이 의 계수 내에서 를 근사화하는 것은 NP-hard 입니다.

χ (G)

$\chi(G)$

| V |^{1 - ϵ}

$|V|^{1-\epsilon}$

— Cyriac Antony

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다윗이 지적한 바와 같이, Khot의 논문, 정리 1.6 "MaxClique, 반음계 번호와 대략적인 그래프 색칠에 대한 개선 Inapproximability 결과"는 NP-하드 컬러로 말한다 -colorable 그래프 충분히 큰 상수 대해 차수가 인 그래프의 색상입니다 . 즉,도의 그래프의 , 그것은 색 어렵다 와 -colorable 그래프 색. $K$ $2^{\Omega((\log K)^2)}$ $2^{2^{(\log K)^2}}$ $K$ $d$ $2^{\sqrt{\log\log d}}$ $\log d$

더 나은 학위 범위를 얻으려면 Trevisan의 논문 "한도에 대한 최적화 문제에 대한 근사 결과"에 나오는 아이디어를 사용할 수 있습니다. 주요 관찰은 FGLSS 축소에 의해 생성 된 그래프는 완전한 이분법 하위 그래프의 합집합이며, 이들을 각각 더 희박한이 분산 분산기로 대체 할 수 있다는 것입니다. Chan http://eccc.hpi-web.de/report/2012/110/ , 정리 1.4 / 부록 D 와 같은 많은 결과에 사용 된 유사한 아이디어 .

나는이 당신을 위해 같은 것을 제공해야한다고 생각 에 묶여 정도의 -colorable 그래프 , 그것으로 색상을 NP-어렵다 일부 일정에 대한 색상 . $2^{\sqrt{c\log d}}$ $d$ $d^{c}$ $0<c<1$

마이클이 언급 한 논문에 인용 된 정도는 Khot와 유사하다. 즉 건전성 사례의 지수이다. 물론 위의 희소 화 접근법도이를 개선하지만, 목적에 따라 더 나은 상수를 제공하지는 않을 것입니다.

— 상샤
소스

도움을 주신 답변 감사합니다. 따라서 Khot의 논문에서 우리는 경도 비율을 암시 할 수 있습니다. 귀하의 논문에서 개선점을 사용하면 경도 비율을 향상시킬 수 있다고 생각합니다 . 그 맞습니까?

2^{Ω (\log \log d)}

$2^{\Omega(\log \log d)}$

2^{2^{Ω (\sqrt{\log \log d})}}

$2^{2^{\Omega(\sqrt{\log \log d})}}$

— afshi7n

@ afshi7n 여기서 매개 변수는 약간 까다 롭습니다. 정도 측면에서 Khot의 논문은 합니다. 내 논문은 대략 합니다. Trevisan의 접근 방식으로 감소의 그래프 수준을 향상시킬 수 있습니다. 나는 그것이 당신에게 를 준다고 생각합니다 . BTW 이들 모두는 충분히 큰 상수 필요로한다 .

\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}

$\log d / 2^{\sqrt{\log \log d}}$

\log d / (\log \log d)^{3}

$\log d / (\log\log d)^3$

d^{c}

$d^c$

d

$d$

— sangxia

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알겠습니다, 감사합니다! 또한 그는이 종이에 저를 언급, 이메일을 통해 Khot 요청 siam.org/proceedings/soda/2011/SODA11_124_guruswamiv.pdf 내가 제공 믿고 Khot의 2-1 추측을 가정합니다.

d^{c}

$d^c$

— afshi7n

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색의 개수 근사 가장 잘 알려진 경도 제한된 최대 정도 -colorable 그래프, 벤 카테 산 구루 스와미 및 인 Sanjeev 칸나로 인해 4 발색 3 착색성 그래프의 경도 : $3$

상수가 소정되도록 이하인 최대치와 -colorable 그래프 , 단지 사용하여 색 NP-어렵다 색. $\Delta$ $3$ $\Delta$ $4$

— vb le
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Khot의 FOCS'01 용지 "MaxClique, Chromatic Number 및 Approximate Graph Coloring에 대한 개선되지 않은 불완전한 결과"에 경계 각도 그래프의 색상이 불확실한 결과가 있습니다. 이는 원하는 것보다 약할 수는 있지만 적어도 올바른 방향입니다.

그는 매개 변수 (상수라고 가정) 와 색채 그래프에 대해 를 사용하는 채색을 찾는 것은 NP-hard임을 증명합니다. 색상. 따라서 관점 에서 인자 내에서 색칠하기는 어렵지만 동일한 근사치 비율도 색도의 초 다항 함수입니다. $k$ $k$ $2^{k^{O(\log k)}}$ $\exp((\log k)^2/25)$ $d$ $O(\log d)$

— 데이비드 엡스타인
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데이빗, 답장을 보내 주셔서 감사합니다. 예, 결과를 보았지만 보다 경도 비율이 더 좋기를 바랍니다 . 나는이 .. 하이퍼 그래프의 가장자리 색채 수를 근사 두 번째 문제, 즉 달성하는 것이 더 쉬울 수 있다고 생각

\log d

$\log d$

— afshi7n

왜 Khot에게 물어 보지 않겠습니까?

— 찬드라 체 쿠리

1

@chandra 방금 이메일을 보냈습니다. 제안 해 주셔서 감사합니다. 다시 들으면 여기 업데이트하겠습니다.

— afshi7n

실제로 Khot이 인용 한 논문은 k-colorable과 -colorable graph ( 사이의 간격을 증명합니다 . 다음 STOC에 게재 될 논문에 ( arxiv.org/abs/1301.5216 )

k^{\log k / 25}

$k^{\log k/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

2^{k^{1 / 3}}

$2^{k^{1/3}}$

— Michael Lampis

와 가 다른 수량을 나타내는 것으로 생각하는 이유는 무엇 입니까? 아니면 Khot 공식의 모호한 연산자 우선 순위를 잘못 해석하고 있습니까?

k^{(\log k) / 25}

$k^{(\log k)/25}$

\exp ((k \log k) / 25)

$\exp((k\log k)/25)$

— David Eppstein

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이 결과는 도움이 될 수 있습니다.

Emden-Weinert, Hougardy 및 Kreuter는 최대 학위 의 그래프에 있는지 확인 $\Delta$ $k=$ $\Delta - \sqrt\Delta +1$ $k\ge 3$

T. Emden-Weinert, S. Hougardy, B. Kreuter, 고유 한 채색 가능한 그래프 및 큰 둘레의 채색 그래프의 경도, Combin. 프로 밥. 계산. 7 (4) (1998) 375–386

— 모하마드 알-투르 키스 타니
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