결정적인 통신 복잡성 대 파티션 수

배경:

Alice와 Bob에게 비트 문자열 와 가 제공되고 일부 부울 함수 를 계산해야하는 일반적인 통신 복잡성 모델의 통신 복잡도를 고려하십시오. 여기서 $n$ $x$ $y$ $f(x,y)$ $f:\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ .

우리는 다음 수량을 정의합니다.

(의 결정적 통신 복잡성 ) : Alice와 Bob 필요 계산할 통신 것을 최소 비트 수 결정 성. $D(f)$ $f$ $f(x,y)$

(의 파티션 번호 ) 대수 파티션 단색 사각형의 최소 개수 (또는 분리형 커버)에 (베이스 (2)) . $Pn(f)$ $f$ $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$

의 단색 사각형은 하위 집합 이므로 는 의 모든 요소에서 동일한 값을 갖습니다 (즉, 단색입니다) . $\{0,1\}^n \times \{0,1\}^n$ $R \times C$ $f$ $R \times C$

또한 파티션 번호는 이 질문 의 주제 인 "프로토콜 파티션 번호"와 다릅니다 .

자세한 내용은 Kushilevitz 및 Nisan의 텍스트를 참조하십시오. 그 표기법에서 I가 정의 될 것을 인 . $Pn(f)$ $\log_2 C^D(f)$

주 :이 정의는 쉽게 비 부울 함수로 일반화 의 출력, 약간 크게 설정된다. $f$ $f$

알려진 결과 :

것이 알려져 하부에 결합 인 (부울 비 부울) 모두, 즉, , . 실제로, 대부분 (아마도 모두? 또는) 결합 테크닉 낮은 실제로 하한 $Pn(f)$ $D(f)$ $f$ $Pn(f) \leq D(f)$ $D(f)$ $Pn(f)$ . (모든 하한 기술에서 이것이 사실임을 확인할 수 있습니까?)

또한이 경계는 최대 2 차적으로 느슨합니다 (부울 또는 비 부울 함수의 경우). 즉, 입니다. 요약하면 다음과 같습니다. $D(f) \leq (Pn(f))^2$

$Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

이 추측되는 . (이것은 Kushilevitz와 Nisan의 텍스트로 텍스트에서 2.10의 열린 문제입니다.) 그러나, 내가 아는 한, 부울 함수에 대해이 둘 사이의 가장 잘 알려진 분리는 " Eyal Kushilevitz, Nathan Linial 및 Rafail Ostrovsky의 의사 소통 복잡도에 대한 선형 배열 추정은 거짓입니다. $Pn(f) = \Theta(D(f))$

보다 정확하게는, 그들이 부울 함수의 무한한 가족을 나타내는 ,되도록 . $f$ $D(f) \geq (2 - o(1)) Pn(f)$

질문:

부울이 아닌 함수에 대해 과 사이의 가장 잘 알려진 구분은 무엇입니까 ? 여전히 위에서 언급 한 요소 2 분리입니까? $Pn(f)$ $D(f)$

v2에 추가됨 : 일주일 동안 답변을받지 못 했으므로 부분 답변, 추측, 의견, 일화적인 증거 등을 듣고 기쁩니다.

lower-bounds communication-complexity

— 로빈 코타 리
소스

당신에 대해 확실

? Jukna 책의 표제어 3.8 만 증명

, KN 및 전용 상태

D (f) \leq (P n (f))^{2}

$D(f) \le (Pn(f))^2$

D (f) \leq 2 (P n (f))^{2}

$D(f) \le 2(Pn(f))^2$

D (f) = O ((P n (f))^{2})

$D(f) = O((Pn(f))^2)$

— András Salamon

@ AndrásSalamon : 하한에 더 가까운 함수를 찾고 있기 때문에 상한을 언급하는 데 너무 조심하지는 않았지만

는 달성 가능 하다고 생각 합니다. Troy Lee와 Adi Shraibman의 "통신 복잡성의 낮은 경계"에서 정리 2.2를 참조하십시오.

(P n (f) + 1)^{2}

$(Pn(f)+1)^2$

— Robin Kothari

사람

에 대한 통신 프로토콜 나무 잎의 최소 개수

, 하부 행을 마련하는 것이 가능하다

는 기술 적으로

의 하한이 아닙니다 . 그러나

이므로

P n (f) \leq \log L (f) \leq D (f)

$Pn(f) \le \log L(f) \le D(f)$

L (f)

$L(f)$

f

$f$

\log L (f)

$\log L(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

, 이러한 하한은 본질적으로

의 정확한 값에 가까운 근사치를 설정합니다.

D (f) \leq 3.4 \log L (f)

$D(f) \le 3.4\,\log L(f)$

D (f)

$D(f)$

— András Salamon

관련 답변 cstheory.stackexchange.com/a/3352/109

— András Salamon

답변:

이 질문은 방금 해결되었습니다! 내가 언급했듯이, 그것은

, $Pn(f) \leq D(f) \leq (Pn(f))^2$

그러나 또는 함수가 있음 을 나타내는 것이 가장 큰 문제 입니다. $Pn(f) = \Theta(D(f))$ $Pn(f) = o(D(f))$

며칠 전에 이것은 Mika Göös, Toniann Pitassi, Thomas Watson ( http://eccc.hpi-web.de/report/2015/050/ )에 의해 해결되었습니다 . 그들은 만족 하는 함수 가 있음을 보여줍니다. $f$

. $Pn(f) = \tilde{O}((D(f))^{2/3})$

또한 의 단측 버전에 대한 최적의 결과를 보여줍니다. 표시됩니다 . 여기서 1 입력 만 사각형으로 덮으면됩니다. 도 만족 $Pn(f)$ $Pn_1(f)$ $Pn_1(f)$

, $Pn_1(f) \leq D(f) \leq (Pn_1(f))^2$

이들이 기능 발휘 때문에 그들은이 두 측정 사이의 최적의 관계가 있음을 보여준다 만족시키는을 $f$

. $Pn_1(f) = \tilde{O}((D(f))^{1/2})$

— 로빈 코타 리
소스

이것은 문제를 멋지게 마무리합니다!

— András Salamon

당신은에 그 하한 발언 밀접하게 기존의 모든 하한 기술 관련됩니다. 부울 함수의 경우 로그 순위 추측이 참인 한 이것이 참인 것 같습니다. 그러나, 바인딩 속이고 세트 지수보다 클 수있다. $Pn(f)$ $Pn(f)$

이는 많은 방법 그다지 명확하지 및 비 부울 경우에 다를 수있다. $Pn(f)$ $D(f)$

나머지 부분에서는 이러한 의견을보다 정확하게 설명합니다.

KN (1997 년 교과서에있는 Kushilevitz와 Nisan)은 부울 함수에 대한 세 가지 기본 기법, 즉 바보 같은 집합의 크기, 단색 사각형의 크기 및 통신 매트릭스의 순위를 간략하게 설명합니다.

먼저, 장난을 치십시오. 속이고 세트 단색 : 일부가 이되도록 각 대 . 그런 다음 다른 색상을 고려하기 위해 일부 최종 패치가 필요합니다. 이 추가 단계는 피할 수 있습니다. 함수라고 하자 . 고유 한 요소 쌍 $S$ $z \in \{0,1\}$ $f(x,y) = z$ $(x,y)\in S$ $f \colon X \times Y \to \{0,1\}$ 이다약하게 장난에 대한 의 경우 암시하거나 그 또는 $(x_1,y_1),(x_2,y_2) \in X \times Y$ $f$ $f(x_1,y_1) = f(x_2,y_2)$ $f(x_1,y_2) \ne f(x_1,y_1)$ . 집합 A는약한 속이고 세트에 대한 의 요소마다 고유 한 쌍의 경우, 약 장난이다. KN은 1.20의 증명 후에 약한 속임수 집합의 로그 크기가 통신 복잡성에 대한 하한임을 암시 적으로 나타냅니다. $f(x_2,y_1) \ne f(x_1,y_1)$ $S \subseteq X \times Y$ $f$ $S$

가장 큰 약한 속임수 세트는 가장 작은 분리 세트 커버의 각 단색 사각형에서 대표 요소를 선택합니다. 따라서 가장 큰 약한 속임수 세트의 크기는 파티션 번호의 최대 (지수)만큼 큽니다. 불행히도 속임수 세트가 제공하는 한계는 종종 약합니다. KN 1.20의 증거는 약한 속임수 세트 각 요소 를 해당 요소를 포함 하는 단색 사각형 매핑하는 모든 함수 가 주입 적이라는 것을 보여줍니다 . 그러나 많은 단색 사각형이있을 수 있습니다 의 이미지에 표시되지 않는 작은 분리 된 커버에 의 모든 요소와 함께, 아니라 모두의 요소 중 일부에 약하게 장난 $s$ $S$ $R_s$ $R$ $S$ $R$ , 그래서 간단하게 추가 할 수 없습니다 . 사실 Dietzfelbinger, Hromkovič 및 Schnitger가 나타났다 (도이 :10.1016 / S0304-3975 (96) 00062-X) 모두 충분한위한 것으로 은 적어도 의 모든 부울 함수의 변수가 아직 log-size 의 속임수 세트를 가지고 있습니다. 따라서 가장 큰 (약한) 바보 집합의 크기 로그는 통신 복잡성보다 기하 급수적으로 작을 수 있습니다. $S$ $S$ $n$ $1/4$ $n$ $Pn(f) = n$ $O(\log n)$

$a> 0$ $Pn(f) \le a\log rk(f)$ $f$ $D(f) \le (2a\log rk(f))^2$ $rk(f)$ $|X|+|Y|$ $2+\epsilon$ $\epsilon > 0$ $|X|+|Y|$ $c>0$ $D(f) \le (\log rk(f))^c$ $f$ $rk(f)$ $f$

마찬가지로 많은 작은 사각형과 함께 아주 큰 단색 사각형이 하나만있는 경우 파티션 번호는 가장 큰 단색 사각형의 로그 크기보다 더 강한 경계를 제공합니다. 그러나 로그 순위 추측은 가장 큰 단색 사각형의 크기에 대한 추측과도 같습니다 (Nisan and Wigderson 1995, doi : 10.1007 / BF01192527 , 정리 2). 따라서 단색 사각형을 사용하는 것은 현재 파티션 번호를 사용하는 것과 "동일한"것으로 알려져 있지 않지만 로그 순위 추측이 유지되는 경우 밀접한 관련이 있습니다.

요약하면, 가장 큰 약한 속임수 집합의 로그 크기는 파티션 수보다 기하 급수적으로 작을 수 있습니다. 다른 하한 기술과 파티션 번호 사이에 간격이있을 수 있지만 로그 순위 추측이 유지되면 이러한 간격이 작습니다.

일반적인 카디널리티 크기를 확장하는 크기 개념을 사용하면 단색 사각형의 크기를 사용하여 바보 세트를 일반화하고 통신 복잡성을 낮추는 데 사용할 수 있습니다 (KN 1.24 참조). 단색 사각형의 일반화 된 가장 큰 "크기"가 통신 복잡성에 얼마나 근접해야하는지 잘 모르겠습니다.

$D(f)$ $\log rk(f)$ $f$ $\log n$ $3^n$ $D(f) \ge Pn(f) \ge (2 - \log 3)n > 0.4n$ $D(f)$ $Pn(f)$ $2.5$ $Pn(f)$ $D(f)$ $f$

$Pn(f)$

— 안드라 살 라몬
소스

P n (f)

$Pn(f)$

D (f)

$D(f)$

D (f)

$D(f)$

P n (f)

$Pn(f)$

D (f) \geq P n (f) \geq 2 n - \log m o n o (f)

$D(f) \ge Pn(f) \ge 2n - \log mono(f)$

m o n o (f)

$mono(f)$

f

$f$

f

$f$

2^{n} \times 2^{n}

$2^n\times 2^n$ . 내 의견은 방법에 관한 것입니다 가까운 이러한 불평등 그들이 지수 격차를 피할 수 있는지 예를 들어, 그리고 약한 장난 세트의 크기가 일반적인 개념보다 더 유용한 이유 (단색 버전 바인딩 순위에 비해 기하 급수적으로 작을 수있다).

— András Salamon 2016 년