선형 방정식 시스템에 대한 희소 솔루션 찾기

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선형 방정식 시스템에 대한 희소 솔루션을 찾는 것이 얼마나 어려운가요?

보다 공식적으로 다음 결정 문제를 고려하십시오.

인스턴스 : 정수 계수와 숫자 의 선형 방정식 시스템 $c$ .

질문 : 최소 $c$ 변수가 0에 할당 된 시스템에 대한 솔루션이 있습니까?

또한 에 대한 의존성이 무엇인지 확인하려고합니다 $c$ . 즉, 문제는 매개 변수 FPT입니다 $c$ .

모든 아이디어 나 언급은 정말 감사합니다.

— 마이클 위 하르
소스

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예를 들어 의 경우 종종 NP-hard 인 링 대해 만족되는 선형 방정식의 수를 최대화 하는 문제 $\text{MAX-LIN}(R)$ 을 고려하십시오. $R$ $R=\mathbb{Z}$

이 문제의 예를 들어 보자. 여기서 는 행렬입니다. 이라고하자 . 새로운 선형 시스템 . 여기서 는 행렬, 는 이제 차원 벡터, $Ax=b$ $A$ $n\times m$ $k=m+1$ $\tilde{A}\tilde{x} = \tilde{b}$ $\tilde{A}$ $kn \times (kn+m)$ $\tilde{x}$ $(kn+m)$ $\tilde{b}$ A는 차원 벡터 : $kn$

여기서은 IS행렬.

\tilde{A} = [\begin{matrix} A & I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ I_{n} & - I_{n} \\ ⋱ & ⋱ \\ I_{n} & - I_{n} \end{matrix}], \tilde{b} = [\begin{matrix} b \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$\tilde{A} = \begin{bmatrix} A & I_n & & & \\ & I_n & -I_n & & \\ & & I_n & -I_n & \\ & & & \ddots &\ddots \\ & & & & I_n & -I_n \\ \end{bmatrix}, \tilde{b} = \begin{bmatrix} b \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}$

I_{n}

$I_n$

n \times n

$n \times n$

이 시스템은 항상 벡터 의해 만족됩니다 . 실제로 의 첫 번째 항목은 임의적 일 수 있으며 해당 접두사가있는 솔루션 벡터가 있습니다. $\tilde{x} = \begin{pmatrix} 0 & b & b & \cdots & b \end{pmatrix}^T$ $m$ $\tilde{x}$

나는 이제 적어도 0 을 갖는 의 희소 용액이 존재한다면 의 방정식의 분율 이 만족 스럽다고 주장한다 . 이는 가 확장 될 때 의 모든 만족 된 행이 잠재적 0을 산출 하기 때문입니다. $\delta$ $Ax=b$ $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta nk$ $Ax=b$ $k$ $x$ $\tilde{x}$

따라서 가장 희소 한 솔루션의 희소성이 인 경우 희소성을 로 나눔으로써 를 최대화 했습니다 . $\tilde{A}\tilde{x}=\tilde{b}$ $\delta$ $k$

따라서 귀하의 문제는 NP-hard라고 생각합니다.

— 조 베벨
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멋있는! 공유해 주셔서 감사합니다. c에 대한 의존성이 무엇이라고 생각하십니까? 보다 작게 해결할 수 있다고 생각하십니까 ? 여기서 은 입력 크기입니다.

p o l y (n) \cdot (\binom{n}{c})

$poly(n) \cdot {n \choose c}$

n

$n$

— Michael Wehar

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물론 우리가 가정하면 당신은 어떤 주어진있는 요소 다음 당신은 단순히에서 해당 요소를 제거 할 수 제로인 낮은 차원 얻을 도에서 해당 열을 제거 얻을 . 그런 다음 가우스 제거를 사용하여 축소 된 시스템 가 실현 가능한지 결정하십시오. 그렇다면 스파 스 솔루션을 찾았습니다. 그런 다음 모든 가능한 를 시도하십시오 .

c

$c$

x

$x$

x

$x$

x^{'}

$x'$

A

$A$

A^{'}

$A'$

A^{'} x^{'} = b

$A' x' = b$

(\binom{n}{c})

$\binom{n}{c}$

A^{'} x^{'}

$A'x'$

— Joe Bebel

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@MichaelWehar이 문제가 FPT인지 아닌지는 모르겠습니다.

— Joe Bebel

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문제는 다음 문제를 줄임으로써 NP- 완료 입니다. 정수 항목이 있는 행렬 와 항목이 있는 정수 벡터 가 주어지면 0-1 벡터 가 있습니까? $m\times n$ $A$ $b$ $n$ $x$ $Ax=b$

모든 좌표를 벡터의 , $x_i$ $x$

소개 새로운 방정식 과 및 $100(n+m)$ $x_i+y_{i,k}=0$ $k=1,\ldots,100(n+m)$
소개 새로운 방정식 과 . $100(n+m)$ $x_i+z_{i,k}=1$ $k=1,\ldots,100(n+m)$

또한 이전 방정식 시스템 . $Ax=b$

새 시스템에 변수가 0 인 솔루션이있는 경우에만 원래 시스템 대한 0-1 솔루션이 있습니다 . $Ax=b$ $100(n+m)n$

— 가모 우
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이것을 Sparsest Solution Vector 문제라고하며 실제로 NP-hard 입니다.

— RB
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이 설정은 다양한 설정에서 어렵습니다 . 이 질문에 대한 다른 답변에서 언급했듯이 문제는 정수보다 NP- 완전합니다.

신호 처리에서 행렬과 벡터는 합리적인 항목을 가지며이 문제는 때때로 희소 재구성 문제 라고합니다 . 이 설정에서 문제는 NP- 완료입니다 (정리 1 참조).

코딩 이론에서, 엔트리는 유한 필드로부터 온 것이며,이 문제는 때때로 최대 가능성 디코딩 문제로 불린다 . 이 설정에서 문제는 지수 시간 가설을 가정하여 NP가 완전 하며 지수가 아닌 시간에 있지 않은 것입니다 . 또한 arXiv에 있는 이전 버전의 용지에 따르면 ( 용지 버전 1의 Lemma C.2 참조) 문제는 W [1]-완료입니다.

— 아르헨티나
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W [1]-완전성에 대한 참조에 "Lemma C.2"가없는 것 같습니다.

@RickyDemer 그가 링크 한 논문의 버전 1에는 Lemma C.2가 있습니다. 그러나 버전 2의 제목이 다른 것 같고 최근에 변경되었습니다.

— Michael Wehar

그 정리는 OP와 다른 매개 변수를 사용합니다.

오, 나는 업데이트 된 버전이 있다는 것을 몰랐다. 나는 그것을보고 내 대답을 적절히 업데이트 할 것이다.

— argentpepper

이전 의견에서 언급했듯이 "lemma는 OP와 다른 매개 변수화를 사용합니다."결과가 사실이라고 생각하더라도 (버전 2에서 제거되었지만) 매개 변수화 된 복잡성에 대한 OP의 질문은 여전히 열려 있습니다.