콜로 모고 로프 복잡성의 계산 불가능 성은 Lawvere의 고정 소수점 정리에서 따릅니 까?

많은 이론과 "역설"– Cantor의 사선 화, 부화의 결정 불가능 성, Kolmogorov의 복잡성 결정 불가능, Gödel 불완전 성, Chaitin 불완전 성, Russell의 역설 등-모두 사선 화에 의해 본질적으로 동일한 증거를가집니다 (이것은 그들이 할 수있는 것보다 더 구체적입니다) 오히려, 이러한 정리 모두가 정말 사용하는 느낌, 모든 대각에 의해 증명 같은 자세한 내용은 참조를 위해, 예를 들어, 대각을 Yanofsky 계정, 또는 훨씬 더 개요에 대한을 덜 공식화 내 대답 에 이 질문이 ).

위에서 언급 한 질문에 대한 의견에서 Sasho Nikolov는 대부분이 Lawvere의 고정 소수점 정리의 특수 사례라고 지적했습니다 . 그것들이 모두 특별한 경우라면, 이것은 위의 아이디어를 포착하는 좋은 방법이 될 것입니다. 위의 모든 것이 직접적인 추론으로 뒤따른 하나의 증거 (Lawver 's)로 실제로 하나의 결과가있을 것입니다.

이제, 괴델 불완전하고 정지 문제와 친구들의 결정 불가능, 그것은 그들이 Lawvere의 고정 점 정리에서 수행하는 것이 잘 알려져있다 (예를 들어, 참조 여기 , 여기 또는 Yanofsky ). 그러나 기본 증거가 어떻게 든 "동일하다"는 사실에도 불구하고 Kolmogorov 복잡성의 결정 불가능 성을 위해 어떻게해야하는지 즉시 알 수는 없습니다. 그래서:

Kolmogorov의 복잡성에 대한 결정 불가능 성은 Lawvere의 고정 소수점 정리의 추가적 대각 화가 필요없는 빠른 추론인가?

— 조슈아 그로 호프
소스

안드레이 바우어 (Andrej Bauer)가이 블로그 게시물에서 배운이 주제에 대해 내가 아는 모든 것 : math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Sasho Nikolov

@MaxNew : 가 TM 의해 계산되는 계산 가능한 함수라고 하자 . 하자 다음 TM 수 : 빈 입력에, 그것은 그것이 찾을 때까지 한 번에 문자열 하나를 통해가는 시작 와 및 출력 . 참고 에만 의존 하는 일부. 그런 다음 어떤을위한 등이(충분히 큰 가 할 것입니다), 그러한 가 없거나 (이 경우 ) 일부 출력합니다.

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$ 그런 그 (구성 별)이지만 출력 는 이므로 입니다.

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Joshua Grochow

@NealYoung : 비슷하지만, 제 질문에 대한 답은 아닙니다. 중지 문제를 줄이려면 HALT를 계산 불가능의 "소스"로 삼은 다음 축소를 사용하십시오. 그러나 (예) 위의 의견에서 내가 준 증거는 K- 복잡성을 "비계산의 원천"으로 취할 수 있지만 HALT와 매우 유사한 증거로 볼 수 있음을 보여줍니다. 그 비슷한 증거가 실제로 어떤 기술적 의미에서 동일 하게 보일 수 있습니까? (이 경우, 그것들은 모두 로버의 정리의 모든 사례 임을 보여줌으로써 많은 종류의 축소보다 더 강하게 보입니다.) 그것이 내가 실제로 추구하는 것입니다.

— Joshua Grochow

@NealYoung : 네, Roger의 고정 소수점 정리를 일반화합니다. 그러나 로저의 정리로만 생각한다면 요점을 잃을 것입니다. 요점은 로버의 법칙이 로저의 법칙을 넘어 다양한 증명법의 증명 전략을 포착하기에 충분하다는 점입니다. 이 질문에 관련된 Yonofsky 논문은 Lawvere의 범주 이론이 위협적 일 수있는 사람들에게 친숙한 Lawvere의 정리에 대한 "범주가없는"설명으로 작성되었습니다.

— Joshua Grochow

참조 cstheory.stackexchange.com/a/2830

— 안드라스 살 라몬

편집 : Roger의 고정 소수점 정리가 Lawvere의 특수 사례가 아닐 수도 있다는 경고를 추가합니다.

여기에 "가까운"증거가 있습니다. 로버의 정리 대신에 로저의 고정 소수 정리를 사용합니다. (자세한 설명은 아래의 주석 섹션을 참조하십시오.)

를 문자열 의 Kolmogorov 복잡도로 하자 . $K(x)$ $x$

부자 . 는 계산할 수 없습니다 . $K$

증거 .

가 계산 가능 하다는 모순을 가정하십시오 . $K$
정의 임의 튜링 기계의 최소 길이 부호화로 과 . $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
모든 문자열 대해 와 같은 상수 가 있습니다 . $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
여기서 되도록 함수 정의하십시오. $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ 와 같이 는 . $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
이후 계산 가능하므로된다 . $K$ $f$
함으로써 로저의 고정 소수점 정리 , 튜링 기계가 존재하는 정점을 갖는 되도록 . $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
의 정의에 의해 선 (4)에서, 우리가 되도록 . $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
3 행과 7 행은 . $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
그러나 2 행에서 의 정의에 의해 , 8 행과 상반됩니다. $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— 닐 영
소스

내가 아는 한 로저의 고정 소수점 정리는 로버의 고정 소수점 정리의 사례가 아닙니다. 그러나 효과적인 토포스에서 다음과 같이 읽으므로 변형입니다.

이 다중 값으로 추정되는 경우

는 고정 소수점 속성을 갖습니다. (유효한 지형지 물에서의 로버의 정리는 다음과 같다 : 만약

가 추정이라면

는 고정 소수점 속성을 가진다.)

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A

$A$

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$

A

$A$

— Andrej Bauer

제 급여 등급 인 @AndrejBauer 위에서 저는 범주 이론을 모릅니다. 이것 과 당신의 대답을 읽으려고 노력 했습니다 . 여전히 이해가되지 않습니다. 당신은 로저스 '정리를 들어, 위의 의견에, 말해 줄 수, 당신은 함수를 위해 무엇을 가지고 가는가

(형과

), 그리고 무엇

? 아니면 적절한 자습서를 제안 하시겠습니까?

f

$f$

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

A

$A$

— 닐 영

슬라이드 45 및 46 math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (좋은 뉴스는 지금은 명확한 계획 및 합성 계산 가능성에 광범위한 논문을 작성하기위한 기한을 가지고있다 ).

— Andrej Bauer