오라클 튜링 머신의 정지 문제에 대한 정보 압축

중지 문제는 계산할 수없는 것으로 잘 알려져 있습니다. 그러나 정지 문제에 대한 정보를 기하 급수적으로 "압축"하여 압축을 풀 수 있습니다.

보다 정확하게는 튜링 기계에 대한 설명을 계산할 수 있으며 비트 권고 는 튜링 기계의 모든 에 대한 정지 문제에 대한 답을 어드바이스 상태는 신뢰할 수 있습니다. 어드바이저는 비트 수를 선택하여 바이너리로 중단 된 튜링 머신 수를 설명하고, 중지 될 때까지 기다렸다가 나머지가 중단되지 않는 결과를 출력하도록합니다.$2^{n}-1$$n$$2^{n}-1$

이 주장은 Chaitin 상수가 정지 문제를 해결하는 데 사용될 수 있다는 증거의 간단한 변형입니다. 나를 놀라게 한 것은 그것이 날카 롭다는 것입니다. 튜링 머신에 대한 설명 과 비트 어드바이스 상태에서 튜링 머신의 각 튜플, 일부 튜플에 대한 정답을 얻는 정지 출력의 비트에 대한 계산 가능한 맵이 없습니다 . 있다면, 우리는 각 튜링 머신 이 비트 의 가능한 배열 중 하나에서 프로그램이 수행하는 작업을 시뮬레이트 하고 예측을 위반하기 위해 자체 정지 상태를 선택함으로써 반대 사례를 만들 수 있습니다 .$2^n$$n$$2^n$$2^n$$2^n$$n$

멈춤 오라클이있는 튜링 머신의 중지 문제에 대한 정보를 압축 할 수는 없습니다. 기계는 가능한 모든 입력에 대해 예측 한 내용을 시뮬레이션하고 정지하지 않은 입력은 무시하고 정지 시간을 선택하여 입력에 대해 예측하지 못한 사전 사전 답변을 제공 할 수 있습니다.

이것은 다른 오라클에 어떤 일이 일어나는지 생각하게 만들었습니다.

해당 오라클을 사용하는 튜링 머신의 정지 문제를 선형과 지수 사이의 중간 성장률로 압축 할 수있는 오라클의 예가 있습니까?

더 형식적으로, 오라클 주어진 있도록 큰 수 에서 계산 가능한 일부 기능이 존재하도록 기계 튜링 오라클 에 비트 비트 등이 각각 있다는 오라클 튜링 기계의 -tuple, 거기를 해당 입력에 대해 평가 된 함수의 값 이 정지하는 각 oracle Turing 머신 의 경우 -tuple의 과 영원히 실행되는 각 oracle Turing 머신의 경우 과 같은 -tuple의 비트 .$f(n)$$m$$m$$n$$m$$m$$n$$m$$1$$0$

인 Oracle이 있습니까? 인 오라클이 있습니까?$n<f(n)<2^{n}-1$$\omega(n)=f(n)=o(2^n)$

하자 의 출력 될 오라클 구비 튜링 기계 번째 입력에, . 여기서 는 "점프"를 나타냅니다. (정지되지 않은 경우 는 정의되지 않습니다.)$J^A(e)$$e$$A$$e$$J$$J^A(e)$

오라클 이고 점프 추적 계산 가능한 비 감소 함수가있는 경우 되도록 모든 , 유한 집합의 일부 computably 열거 가족 와 모든 .$A$$h:\mathbb N\to\mathbb N$$e$$J^A(e)\in T_e$$(T_e)_{e\in\mathbb N}$$|T_e|\le h(e)$$e$

튜링 머신 번호 의 첫 번째 가 중지 되는 것을 나타내는 길이 의 문자열을 고려해 봅시다 . 정지 보다 작은 경우 은 정의되지 않습니다.$f^A(k,n)=$$n$$k$$0,\dots,n-1$$k$$f^A(k,n)$

참고 부분적인 계산 가능한 상대적 . 따라서 과 같은 계산 가능한 함수 있습니다.$f^A$$A$$g$$f^A(k,n)=J^A(g(k,n))$

에 대한 정지 세트 의 처음 비트 를 압축하려면 , 중 많은 요소 중 것이 , 이고 는 정확한 수 정지 TM.$n$$A$$h(e)$$T_e$$e=g(k,n)$$k$

점프 추적 가능한 오라클 (Nies, Computability and Randomness , Theorem 8.5.2) 의 올바른 계층 구조가 있습니다. 따라서 적절하게 작게 선택 하면 요청한대로 Oracle 후보를 얻게 됩니다.$h$$A$

우리가 한 방향 (성장률의 상한)을 가지고 있고 상한을 얻은 방법이 그보다 더 작은 상한을 제공하지 않는다는 점에서 합리적으로 좋은 후보입니다.