무결성 갭과 근사 비율

최소화 문제에 대한 근사 알고리즘을 고려할 때이 문제에 대한 IP 공식의 적분 갭은 특정 클래스의 알고리즘 (예 : 반올림 또는 기본 이중 알고리즘)에 대한 근사 비율의 하한을 제공합니다. 실제로, 근사 비율이 적분 갭과 일치하는 많은 문제가 있습니다.

일부 알고리즘은 일부 문제의 적분 갭보다 더 나은 근사화 비율을 가질 수 있지만 그러한 예제가 존재하는지 여부는 알 수 없습니다. 대답이 예라면 몇 가지 예를 들어 줄 수 있습니까?

나는 몇몇 문제들이 여러 수학 공식을 인정한다는 것을 알고있다. 그러한 경우, 다항식 시간으로 해결할 수있는 한, 적분 갭이 가장 작은 수학적 공식을 고려하십시오 (아마도 일부 공식은 분리 oracles를 사용할 수 있음).

이 질문은 [질문 : Integrity Gap의 중요성]과 관련이 있습니다.

— 스노이
소스

기하학적 TSP가 이러한 문제의 예라고 생각하지만 참조가 없습니다.

— Jukka Suomela

그리고 변화 전략을 사용하여 PTAS를 인정하는 문제는 어떻습니까? 이들 중 임의의 작은 무결성 간격을 가진 IP 공식이 있습니까?

— Jukka Suomela

@Jukka 기하학 TSP가 좋은 예입니다. 4/3 적분 갭 예제는 평면 그래프에서 최단 경로 메트릭 이며,

갭이 있는 평면에서 유클리드 TSP 또는

TSP 의 인스턴스로 전환 할 수 있어야합니다.

ℓ_{1}

$\ell_1$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Luca Trevisan

평면 그래프의 문제에 대한 PTAS가 일정한 수준의 Sherali-Adams 또는 Lasserre 휴식을 사용하여 실현 될 수 있는지에 대한 흥미로운 공개 질문으로 언급되었습니다. (상수가 상수가 달성하고자하는 근사화에 의존하는 경우) 밀도 그래프에서 PTAS가있는 그래프 문제 (예 : 최대 컷)도 다항식 계열을 갖는 것이 알려져 있거나 적어도 현재 기술에서 입증 될 수 있어야합니다. 임의로 작은 무결성 간격으로 크기 완화.

— Luca Trevisan 2019

관련 질문 : 다항식 크기 LP가 현재 알려진 가장 가까운 근사 비율을 제공 할 수 없다는 것이 증명 된 문제가 있습니까? 일부 제한된 유형의 LP에서도 그러한 것을 증명할 수 있습니까?

— Danu

답변:

지적했듯이 몇 가지 예가 있습니다.

전형적인 예는 최대 매칭인데, 여기서 "자연적인"이완 (홀수 집합 제약없이)은 2의 갭을 갖는 반면, 물론 효율적인 알고리즘이 있습니다. 타원체를 통해 풀 수있는 지수 크기의 LP가 있기 때문에 이것은 완전하지 않습니다.

흥미로운 것은 정전 용량 시설 위치입니다. 여기서 자연의 이완은 끝없는 무결성 차이를 가지고 있습니다. 그러나 지역 검색 기반 알고리즘은 일정한 요인 근사치를 제공합니다.

또 다른 매우 흥미로운 것 (최대화 문제임)은이 백서입니다 : http://www.cis.upenn.edu/~sanjeev/postscript/FOCS09_MaxMin.pdf . 여기서 LP는 큰 차이가 있지만 그 LP를 사용하는 알고리즘이 더 잘할 수 있습니다.

— 쿠날
소스

대단히 감사합니다. 이 답변에는 내가 찾던 내용, 특히 Chakrabarty et al.에 의해 작성된 FOCS 논문이 포함되어 있습니다. (이 논문은 나에게 관심이 많다). 따라서이 답변을 수락 한 것으로 설정했습니다. 나는 여전히 더 많은 예제를 찾고 있으므로 다른 예제를 제공 할 수있는 사람은 높이 평가 할 것입니다.

— Snowie

반정의 프로그래밍 이완이 선형 프로그래밍 이완에 대해 알려진 적분 갭보다 우수한 근사치를 허용하는 다양한 예가있다.

예를 들어, 최대 컷의 표준 선형 프로그래밍 이완은 1/2의 적분 갭을 가지며, 이는 훨씬 정교한 선형 프로그래밍 이완 (참조 : la Vega-Kenyon 및 Schoenebeck-Trevisan-Tulsiani)에도 적용되지만 Goemans -Williamson SDP 알고리즘의 근사는 .878입니다 ...

$\Omega(\log n)$ $O(\sqrt{\log n})$

잘 알려지지 않은 Karloff와 Zwick은 SDP를 사용하면 최대 3SAT를 근사 할 수 있으며, 7/8 내에 절이 1, 2 또는 3 개의 리터럴을 가질 수있는 버전에서 Goemans와 Williamson은 선형 프로그래밍 완화를 연구했습니다. 3/4 근사값을 증명하는 데 사용되었으며 (Yannakakis는 다른 방법으로 3/4 근사값을 미리 얻었습니다) Max 3SAT의 Goemans-Williamson LP 완화는 3/4의 적분 갭을 갖는 것으로 쉽게 나타납니다.

— 루카 트레비 산
소스

Grant는 GF_2를 통해 선형 시스템을 푸는 것에 대한 결과도 있습니다. 솔루션이 좋은 방정식 시스템의 경우 SDP 적분 갭 (매우 강력한 형식)이 2 인 반면 가우시안 제거를 사용하여 문제를 정확하게 해결할 수 있습니다.

— 이우
소스