양자 컴퓨터를 사용하여 어떤 종류의 문제를보다 효율적으로 해결할 수 있는지에 대한 일반적인 설명이 있습니까?

양자 컴퓨터를 사용하여 어떤 종류의 문제를보다 효율적으로 해결할 수 있는지에 대한 일반적인 설명이 있습니까 (양자 게이트 모델 만 해당)? 오늘날 알려진 알고리즘 문제에 공통된 속성이 있습니까?

양자 컴퓨팅이 숨겨진 하위 그룹 문제 (Shor)를 돕습니다. Grover의 알고리즘은 검색 문제를 가속화하는 데 도움이됩니다. 함수의 '전역 속성'(Grover / Deutsch)을 찾으면 양자 알고리즘이 속도를 높일 수 있다는 것을 읽었습니다.

1. 양자 컴퓨팅이 도움을 줄 수있는 곳에 대해 더 간결하고 정확한 설명이 있습니까?
2. 양자 물리학이 그 이유를 설명 할 수있는 이유를 설명하는 것이 가능합니까 ( '간섭이 악용 될 수있는 것'). 왜 다른 문제 (예 : NP- 완전 문제)에 도움이되지 않습니까?

그것에 대해 논의하는 관련 논문이 있습니까?

cstheory.stackexchange.com 에서이 질문을 한 적이 있지만 여기에 더 적합 할 수 있습니다.

일반적으로 계산 유용성

아마도 그것을 깨닫지 않고 이론적 인 컴퓨터 과학에 관해 물어볼 수있는 가장 어려운 질문 중 하나의 버전을 요구하고 있습니다. '양자'를 추가하는 것이 도움이되는지 묻는 대신 클래식 컴퓨터에 대해 동일한 질문을 할 수 있습니다.

• 무작위 알고리즘이 어디에서 도움이 될 수 있는지에 대한 간결한 설명이 있습니까?

  여기에 매우 모호한 말을하는 것이 가능합니다. 솔루션이 풍부하다고 생각하거나 일부 하위 문제에 대한 솔루션 수가 많다고 생각한다면 체계적으로 구성하기가 어려울 수 있습니다. 체계적인 건축 문제를 극복하기 위해 무작위로 선택. 하지만 가끔은, 이유를 조심 왜 당신이 하위 문제에 대한 풍부한 솔루션이 사용 증거가 있기 때문에되어 있다는 것을 알고 확률 방법 . 이 경우 유용한 랜덤 알고리즘의 효과를 줄임으로써 솔루션의 수가 풍부하다는 것을 알게됩니다!

  그러한 경우에 솔루션의 수가 풍부하다는 사실을 정당화하는 다른 방법이 없다면 무작위 알고리즘이 언제 도움이 될 수 있는지에 대한 간단한 설명은 없습니다. 그리고 '도움'(슈퍼 다항식 우위)에 대한 요구가 충분하다면 복잡성 이론에서 해결되지 않은 문제 인 인지 여부를 묻습니다 . $\mathsf P \ne \mathsf{BPP}$
  
  

• 병렬 알고리즘이 어디에 도움이 될 수 있는지에 대한 간결한 설명이 있습니까?

  여기 상황이 약간 나아질 수 있습니다. 문제가 여러 개의 독립적 인 하위 문제로 나눌 수있는 것처럼 보이는 경우, 병렬화 될 수 있습니다. "모호 할 때 알 수 있습니다"라는 일종의 기준이 모호합니다. 주요 질문은, 것입니다 당신이 그것을 볼 때 당신은 그것을 알아? 당신은 유리수를 통해 선형 방정식 시스템의 가능성을 테스트하는 것이 아니라 parallelisable하지만 사용하여 해결 될 수 있다는 것을 짐작했을 것이다 CF -depth 회로 [  COMPUT합니다. 복잡한. 8 (pp. 99--126), 1999 ]?$O(\log^2 n)$

  사람들이 이것을 위해 큰 그림의 직관을 그리려고 시도하는 한 가지 방법은 반대 방향에서 질문에 접근하고 병렬 알고리즘 이 도움 이되지 않는다는 것을 말하는 것입니다 . 특히, 문제에 본질적으로 순차적 인 문제가있는 경우 도움이되지 않습니다. 그러나 '순차적'은 문제에 대해 볼 수있는 구조가 병렬화되지 않은 구조임을 의미하기 때문에 원형입니다.

  다시 말해, 병렬화 된 알고리즘이 도움이 될 수있는시기에 대한 간단하고 포괄적 인 설명은 없습니다. 그리고 '도움'(다항식 병렬화를 가정하여 시간의 양에 대한 다 로그 상한)에 대한 요구가 충분히 높으면 $\mathsf P \ne \mathsf{NC}$ 인지 묻는 것이 복잡성 이론에서 다시 풀리지 않는 문제입니다. .
  
  

"[X]가 도움이 될 때의 간결하고 정확한 설명"에 대한 전망은이 시점에서 그리 훌륭하지 않습니다. 우리가 여기에서 너무 엄격하다고 항의 할 수는 있지만, 다항식 이상의 이점을 요구한다는 이유로 비결정론 적 튜링 머신이 '유용한'(분명히 부조리 한) 것이라고 주장 할 수도 없었습니다. 만족도를 효율적으로 해결하는 기술이 없다면, 결정적이지 않은 튜링 머신을 얻을 수 있다면 실제로는 매우 도움이된다는 것을 인정해야 합니다 . 그러나 이것은 우리가 어떤 문제에 도움이 될지를 정확하게 특성화 할 수있는 것과 다릅니다 .

양자 컴퓨터의 도움

스텝 다시 촬영, 거기 아무것도 우리가 양자 컴퓨터가 도움이되는 경우에 대해 말할 수 있습니까?

우리는 이것을 말할 수 있습니다 : 양자 컴퓨터는 문제의 구조를 이용하는 경우에만 흥미로운 일을 할 수 있습니다. 그것은 고전적인 컴퓨터에서는 불가능합니다. (이것은 문제의 "글로벌 속성"에 대한 언급에서 암시합니다). 그러나 우리는 이것보다 더 말할 수 있습니다. 단일 회로 모델에서 양자 컴퓨터에 의해 해결 된 문제는 그 문제의 일부 기능을 단일 연산자로 인스턴스화 합니다. 클래식 컴퓨터에서 사용할 수없는 문제의 특징은 표준 적으로 (아마도) 통계적으로 유의미한 관계가없는 것입니다.

• Shor의 알고리즘의 경우,이 속성은 순열 연산자의 고유 값으로, 고리에 대한 곱셈으로 정의됩니다.
• Grover 알고리즘의 경우이 속성은 마크 된 상태 세트에 대한 반사가 균일 한 중첩에 대한 반사와 통근하는지 여부입니다. 이는 Grover 반복자가 고유 값이 이 아닌지 여부를 결정합니다 .$\pm 1$

두 경우 모두 정보가 고유 값 및 고유 벡터와 관련되어 있다는 사실은 놀라운 일이 아닙니다. 이것은 표준 기준과 의미있는 관계가 필요하지 않은 연산자 속성의 훌륭한 예입니다. 그러나 정보가 고유 값이어야하는 특별한 이유는 없습니다. 필요한 모든 것은 표준 기반의 검사에서 명확하지 않다 문제의 몇 가지 관련 기능을 인코딩, 단일 연산자를 설명 할 수 있지만 입니다 다른 쉽게 설명 된 방법으로 접근.

결국,이 모든 것은 양자 컴퓨터가 문제를 해결하기 위해 양자 알고리즘을 찾을 수있을 때 유용하다는 것입니다. 그러나 적어도 양자 알고리즘을 찾는 전략의 광범위한 개요는 무작위 또는 병렬 알고리즘에 대해 위에서 설명한 전략의 개요보다 나쁘지 않습니다.

양자 컴퓨터가 '유용한'시기에 대한 언급

다른 사람들이 언급했듯이 "양자 컴퓨팅이 도울 수있는 곳"은 '도움말'의 의미에 달려 있습니다.

• Shor의 알고리즘은 종종 그러한 토론에서 트로트되며 사람들은 때때로 다항식 시간에서 인수 분해 를 해결할 수 없다는 것을 알지 못할 것이라고 지적합니다 . 우리는 실제로 "양자 계산이 숫자를 분해하는 데 도움이 될 것"이라는 것을 알고 있습니까?

  양자 컴퓨터를 구현하는 데 어려움이있는 것 외에도 합리적인 대답은 '예'라고 생각합니다. 기존 컴퓨터를 사용하여 효율적으로 분해 할 수 없다는 사실을 알기보다는 기존 컴퓨터를 사용하여 어떻게 수행 할 것인지 모릅니다 . 양자 컴퓨터가 당신이 더 나은 접근 방식을 갖지 않는 것을 돕는다면, 이것이 '도움'인 것 같습니다.

• $O(2^{0.386\,n})$

  아마도 그로버의 알고리즘 등이 특히 도움이되지 않습니다. 당신이 무차별 검색을 넘어 더 똑똑한 고전적인 전략을 정교하게 사용하는 경우에는, 그것은 도움이 될 수 있습니다 사용하여 진폭 증폭을 보다 일반적인 설정 그로버의 알고리즘의 자연 일반화, 우리는 많은 비 사소한 알고리즘의 성능을 향상시킬 수 있습니다 SAT (예 : [ACM SIGACT 뉴스  36 (pp.103--108), 2005 — 무료 PDF 링크 ]; 의견에서이 참조를 지적한 Martin Schwarz의 모자 설명)를 참조하십시오.

  Grover의 알고리즘과 마찬가지로, 진폭 증폭은 다항식 속도 향상만을 제공합니다. 그러나 실제로는 다항식 속도 향상도 양자 정보를 잡음으로부터 보호하는 것과 관련된 오버 헤드에 의해 제거되지 않으면 흥미로울 수 있습니다.

TL; DR : 아니요, 복잡한 이론 용어로 양자 컴퓨터가 정확히 어떤 유형의 문제를 해결할 수 있는지에 대한 정확한 "일반적인"진술은 없습니다 . 그러나 우리는 대략적인 생각을 가지고 있습니다.

계산 복잡도 이론 에 관한 Wikipedia의 하위 기사에 따르면

양자 컴퓨터에 의해 효율적으로 해결 될 수있는 문제의 클래스는 "경계 오류, 양자, 다항식 시간"으로 BQP 라고합니다. 퀀텀 컴퓨터는 확률 알고리즘 만 실행 하므로 퀀텀 컴퓨터의 BQP 는 클래식 컴퓨터 에서 BPP ( "경계 오류, 확률, 다항식 시간") 의 대응입니다 . 그것은 다항식 시간 알고리즘으로 해결할 수있는 일련의 문제로 정의되며, 오류 확률은 절반에서 멀어집니다 . 양자 컴퓨터는 모든 경우에 그 대답이 높은 확률로 옳다면 문제를 "해결"한다고합니다. 해당 솔루션이 다항식 시간으로 실행되면 BQP에 문제가있는 것입니다.

BQP는 PSPACE 의 서브 클래스 인 복잡성 클래스 #P (또는보다 정확하게는 연관된 결정 문제 클래스 P ^#P )에 포함 됩니다.

BQP는 NP-complete 및 P의 엄격한 수퍼 세트와 분리 된 것으로 의심되지만 알려지지 않았습니다. 정수 인수 분해와 이산 로그는 모두 BQP에 있습니다. 이 두 가지 문제는 BPP 외부에있는 것으로 의심되는 NP 문제이므로 P 외부에 있습니다. 두 가지 모두 NP가 완료되지 않은 것으로 의심됩니다. 양자 컴퓨터가 다항식 시간에 NP- 완전 문제를 해결할 수 있다는 일반적인 오해가 있습니다. 이는 사실이 아니며 일반적으로 거짓으로 의심됩니다.

고전적인 알고리즘을 가속화하는 양자 컴퓨터의 용량에는 한계가 있습니다. 이는 양자 계산의 복잡성의 상한입니다. 양자 컴퓨터에서는 고전 계산의 압도적 인 부분을 가속화 할 수 없습니다. Grover 알고리즘이 최적 인 검색 문제와 같은 특정 계산 작업에 대해서도 비슷한 사실이 발생합니다.

${\displaystyle O({\sqrt[{3}]{N}})}$$\displaystyle O({\sqrt {N}})$

퀀텀 컴퓨터는 일부 문제 유형에서 기존 컴퓨터보다 빠를 수 있지만 위에서 설명한 컴퓨터는 기존 컴퓨터로는 아직 해결할 수없는 문제를 해결할 수 없습니다. 튜링 머신은 이러한 양자 컴퓨터를 시뮬레이션 할 수 있으므로 이러한 양자 컴퓨터는 정지 문제와 같은 결정 불가능한 문제를 결코 해결할 수 없습니다. "표준"양자 컴퓨터의 존재는 교회 – 튜링 논문을 반증하지 않습니다. M 이론 또는 루프 양자 중력과 같은 양자 중력 이론은 더 빠른 컴퓨터를 구축 할 수 있다고 추측되었다. 현재, 이러한 이론에서 계산을 정의하는 것은 시간의 문제로 인해 공개적인 문제입니다. 즉, 현재 관찰자가 컴퓨터에 입력을 제출하고 나중에 출력을 수신하는 것이 무엇을 의미하는지 설명하는 명확한 방법은 없습니다.

에 관해서는 왜 양자 컴퓨터가 할 수 효율적으로 BQP 문제를 해결 :

1. $n$$2n$

2. 일반적으로 양자 컴퓨터에서의 계산은 측정으로 끝납니다. 이로 인해 양자 상태가 기본 상태 중 하나로 붕괴됩니다. 양자 상태는 확률이 높은 정확한 상태로 측정된다고 말할 수있다.

흥미롭게도, 이론적으로 사후 선택 (확장 가능한 실제 구현이 없음)을 허용하면 복잡한 클래스 사후 BQP를 얻습니다 .

계산 복잡도 이론에서 PostBQP는 양자 선택기에서 다항식 시간으로 해결할 수있는 모든 계산 문제로 구성된 복잡성 클래스로, 후 선택과 제한 오류가 있습니다 (알고리즘이 모두 시간의 2/3 이상이라는 의미에서) 입력). 그러나 포스트 셀렉션은 실제 컴퓨터 (양자조차도 컴퓨터)가 가지고있는 기능으로 간주되지 않지만 그럼에도 불구하고 포스트 셀렉 팅 머신은 이론적 인 관점에서 흥미 롭습니다.

@Discrete lizard 가 의견 섹션에서 언급 한 내용을 추가하고 싶습니다 . "도움을 줄 수있다"라는 의미를 명시 적으로 정의하지는 않았지만, 복잡도 이론의 경험에 따르면 일반적으로 양자 컴퓨터가 다항식 시간 (오류 한계가있는)을 풀 수있는 방법으로 "도움을 줄 수 있다면" 문제는 BQP에 있지만 P 또는 BPP 에는 있지 않습니다 . 우리가되어 위에서 설명한 복잡한 클래스 사이의 일반적인 관계를 의심 할 :

$\text{P $\subseteq$ BPP $\subseteq$ BQP $\subseteq$ PSPACE}$

그러나 P = PSPACE 는 Computer Science에서 공개 된 문제입니다 . 또한, P와 NP 의 관계는 아직 알려져 있지 않습니다.

그러한 일반적인 진술은 없으며 곧있을 것 같지는 않습니다. 나는 이것이 왜 그런지를 설명 할 것이다. 귀하의 질문에 대한 부분 답변을 위해 BQP와 PostBQP의 두 가지 복잡한 클래스의 문제를 살펴 보는 것이 도움이 될 수 있습니다.

양자 게이트 모델의 양자 컴퓨터로 효율적으로 해결할 수있는 문제에 가장 근접한 복잡성 클래스는 다음과 같습니다.

1. BQP ; 과
2. PostBQP

BQP는 양자 회로에서 다항식 시간으로 해결할 수있는 문제로 구성됩니다. Shor 알고리즘과 같은 가장 중요한 양자 알고리즘은 BQP의 문제를 해결합니다.

$=$

그러나 현재 사후 선택 을 실제로 구현하는 방법은 없으므로 PostBQP가 이론적으로 더 중요합니다.

P, NP 및 BQP의 관계는 현재 알려져 있지 않습니다. P 대 NP 순서의 공개 문제. 양자 컴퓨터 를 사용하여 어떤 종류의 문제를보다 효율적으로 해결할 수 있는지에 대한 일반적인 설명으로 BQP 대 P 질문에 대답 해야합니다 (BQP = P이면 양자 컴퓨터가 더 효율적이지 않습니다 (복잡한 이론가에게는 적어도))

Blue의 사진과 마찬가지로 Quanta Magazine 의이 사진이 더 좋습니다. 왜냐하면 우리가 말하는 내용을 시각적으로 요약 한 것 같습니다.