하나님의 수에 대한 양자 알고리즘

신의 수 는 신의 알고리즘 중 최악의 경우입니다.

루빅스 큐브 퍼즐을 해결하는 방법에 대한 토론에서 시작된 개념이지만 다른 조합 퍼즐과 수학 게임에도 적용될 수 있습니다. 이것은 가능한 가장 적은 움직임을 가진 솔루션을 생성하는 알고리즘을 말하며, 전능 한 존재는 주어진 구성에서 최적의 단계를 알 것이라는 아이디어입니다.

신의 수를 20으로 계산하려면 "35 년의 CPU 사용 유휴 (고전) 컴퓨터 시간"이 필요했습니다.

양자 접근 방식으로 어떤 종류의 속도를 달성 할 수 있습니까?

Rubik의 큐브 Cayley 그래프를 생각할 수 있습니다 $\Gamma=(V,E)$ 각 (컬러) 가장자리 $E$ Singmaster 움직임 ​​중 하나 $\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$ 그리고 각 정점 $V$ 중 하나 인 $43252003274489856000\approx 4.3e{19}$ 다른 구성 $3\times 3\times 3$ 큐브.

그래프 의 지름 은 그래프에서 가장 짧은 경로입니다. 직경을 결정하기위한 클래식 알고리즘은 다항식입니다.$\vert V \vert$; 예를 들어 자매 사이트의 답변 을 참조하십시오 .

위에서 언급 한 바와 같이, 하나님의 수는이 직경과 관련이있다. 그룹의 Cayley 그래프에 대한 정점 사이의 최단 경로를 알기 위해서는 해결 된 상태에서 몇 단계 떨어져 있는지 알 수 있습니다. 우리는 Rokicki, Kociemba, Davidson 및 Dethridge 덕분에 하나님의 수는$20$. 그들이 실행 한 알고리즘은 다항식이었습니다.$\vert V\vert$예를 들어 다항식 $4.3e{19}$.

주석에서 언급 한 그래프 직경에 대한 Heiligman의 양자 알고리즘은 지크 스트라 알고리즘보다 "총 양자 비용이 $O(|V|^{9/4})$그러나 Heiligman은 전형적인 알고리즘처럼 그래프를 인코딩한다고 생각합니다. $O(|V|)$큐빗. 분명히, 만약$|V|=4.3e{19}$ 그러면 도움이되지 않습니다.

대신, 다른 질문에서 암시 된 것처럼 루빅스 큐브를 인코딩하는 다른 방법은 물론 모든 것에 대해 균일 한 중첩을 준비하는 것입니다.$4.3e{19}$상태. 이것은 단지 걸립니다$\log 4.3e{19}$ 큐빗.

양자 알고리즘은 "고유 값"과 "고유 벡터"및 "고유 상태"에 대해 잘 알고 있습니다. 모든 Singmaster 동작을 모든 균일 한 중첩에 적용$4.3e{19}$상태는 상태를 변경하지 않습니다. 즉, 균일 한 중첩은 Cayley 그래프에서 Markov 사슬의 고유 상태입니다.

그래프 의 지름 과 해당 인접성 / 라플라시안 행렬 고유 값 / 고유 벡터 , 특히 스펙트럼 갭, 두 개의 가장 큰 고유 값 사이의 거리 ($\lambda_1-\lambda_2$). "직경 고유 값"에 대한 빠른 Google 검색은 이를 생성 합니다 . 비슷한 Google 검색을 탐색하는 것이 좋습니다.

스펙트럼 갭은 단열 알고리즘을 정확히 제한합니다 . 따라서 아마도 루빅스 큐브 그룹의 다양한 하위 그룹 / 하위 공간에 대해 균일 한 슈퍼 포지션에서 해결 된 상태로 진화하기 위해 단열 알고리즘이 얼마나 빨리 실행되어야하는지 알면 스펙트럼 격차를 추정하고이를 사용하여 하나님의 수를 제한 할 수 있습니다. 그러나 나는 여기서 내 리그에서 빨리 벗어 났으며 정확성에 도달 할 수 있는지 의심합니다.