반복적 해결

MATLAB을 사용하여 모든 시간 단계에서 를 풀어야하는 문제를 해결하고 있습니다 . 여기서 b 는 시간에 따라 바뀝니다. 지금은 MATLAB을 사용 하여이 작업을 수행하고 있습니다 .$\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$$\mathbf{b}$mldivide

x = A\b

필요한만큼 사전 계산을 수행 할 수있는 유연성이 있으므로보다 빠르고 정확한 방법이 있는지 궁금합니다 mldivide. 여기서 일반적으로 수행되는 작업은 무엇입니까? 모두 감사합니다!

당신이 할 수있는 가장 명백한 일은 사전 계산하는 것입니다

[L,U] = lu(A) ~ O (n ^ 3)

그럼 당신은 단지 계산

x = U \ (L \ b) ~ O (2 n ^ 2)

이것은 비용을 엄청나게 줄이고 더 빠르게 만듭니다. 정확도는 같습니다.

우리는이 주제에 대해 과학 컴퓨팅 과정에서 광범위한 컴퓨터 실습을 수행했습니다. "작은"계산을 위해 Matlab의 백 슬래시 연산자는 가능한 한 코드를 최대한 최적화하고 모든 행렬을 미리 재정렬 한 후에도 항상 다른 것보다 빠릅니다. .

실험실 지침 중 하나를 확인할 수 있습니다 . 귀하의 질문에 대한 답변은 4 페이지에 (짧게) 설명되어 있습니다.

이 주제에 대한 좋은 책은 예를 들어 Cheney에 의해 작성되었습니다 .

$A$$n\times n$ $Ax_i = b_i$$i=1\dots m$$m$

V = inv(A);
...
x = V*b;

$O(n^3)$inv(A)$O(n^2)$V*b$m$

>> n = 5000;
>> A = randn(n,n);
>> x = randn(n,1);
>> b = A*x;
>> rcond(A)
ans =
   1.3837e-06
>> tic, xm = A\b; toc
Elapsed time is 1.907102 seconds.
>> tic, [L,U] = lu(A); toc
Elapsed time is 1.818247 seconds.
>> tic, xl = U\(L\b); toc
Elapsed time is 0.399051 seconds.
>> tic, [L,U,p] = lu(A,'vector'); toc
Elapsed time is 1.581756 seconds.
>> tic, xp = U\(L\b(p)); toc
Elapsed time is 0.060203 seconds.
>> tic, V=inv(A); toc
Elapsed time is 7.614582 seconds.
>> tic, xv = V*b; toc     
Elapsed time is 0.011499 seconds.
>> [norm(xm-x), norm(xp-x), norm(xl-x), norm(xv-x)] ./ norm(x)
ans =
   1.0e-11 *
    0.1912    0.1912    0.1912    0.6183

$A^{-1}$$LU$$m>125$

일부 노트

안정성 및 오류 분석에 대해서는이 다른 답변에 대한 의견 , 특히 VictorLiu 의 의견을 참조하십시오 .

$m\ll n$

타이밍은 상당히 일정한 UNIX로드 평균 5를 갖는 12 코어 컴퓨터에서 Matlab R2011b로 수행되었습니다. tic, toc3 개의 프로브 중 최상의 시간.

이 질문을 살펴보면 , 대답 mldivide은 꽤 영리하며 Matlab이 해결하기 위해 사용하는 방법을 알 수있는 방법을 제안 A\b합니다. 최적화 옵션에 대한 힌트를 제공 할 수 있습니다.

백 슬래시를 사용하는 것은와 거의 inv(A)*B비슷합니다. 자유롭게 코딩한다면 후자가 더 직관적 일 수 있습니다. 설명은 Matlab 설명서를 확인해야하지만 거의 동일합니다 (계산 수행 방식이 다릅니다).

귀하의 질문에 대답하기 위해 백 슬래시는 일반적으로 괜찮지 만 질량 행렬의 속성에 따라 다릅니다.