간격이 같은 점이 왜 잘못 작동합니까?

24

실험 설명 :

라그랑주 보간에서 정확한 방정식은 $N$ 점 (다항식 차 $N - 1$ ) 에서 샘플링 되고 101 점에서 보간됩니다. 여기서 $N$ 은 2에서 64까지 다양하다. 매번 $L_1$ , $L_2$ 및 $L_\infty$ 에러 플롯이 준비된다. 함수가 등 간격 포인트에서 샘플링 될 때, 에러는 초기에 떨어지고 ( $N$ 이 약 15보다 작을 때까지 발생 ) 증가가 증가함에 따라 에러가 증가 함을 알 수 $N$ 있습니다.

반면, 초기 샘플링이 Legendre-Gauss (LG) 지점 (Legendre 다항식의 루트) 또는 Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) 포인트 (Lobatto 다항식의 루트)에서 수행되는 경우 오류는 기계 수준으로 떨어지고 그렇지 않습니다. 증가 할 때 $N$ 더욱 증가된다.

내 질문은

등거리 점의 경우 정확히 어떻게됩니까?

다항식 차수의 증가로 인해 특정 시점 이후에 오류가 발생하는 이유는 무엇입니까?

이것은 WENO / ENO 재구성 (라그랑 지 다항식 사용)에 등 간격 점을 사용하면 매끄러운 지역에서 오류가 발생한다는 것을 의미합니까? (이것은 단지 가상의 질문 일뿐입니다 (WENO 체계의 경우 15 이상의 차수를 재구성하는 것은 실제로 합리적이지 않습니다))

추가 세부 사항:

대략적인 기능 :

$f(x) = \cos(\frac{\pi}{2}~x)$ , $x \in [-1, 1]$

$x$ 는 $N$ 간격 (및 이후 LG) 포인트로 나뉩니다. 이 기능은 매번 101 포인트로 보간됩니다.

결과 :

a) 등 간격 점 ( 보간 $N = 65$ ) :

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

b) 등 간격 포인트 (에러 플롯, 로그 스케일) :

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

a) LG 포인트 ( 보간 $N = 65$ ) :
b) LG 포인트 (오류 플롯, 로그 스케일) :

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

— Subodh
소스

26

등 간격 점의 문제점은 보간 오차 다항식 즉

f (x) - P_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (ξ)}{(n + 1)!} \prod_{i = 0}^{n} (x - x_{i}), ξ \in [x_{0}, x_{n}]

$f(x) - P_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x - x_i),\quad \xi\in[x_0,x_n]$

$x_i$

Gauss-Legendre 포인트를 사용하면 오차 다항식이 훨씬 더 잘 작동합니다. 즉, 가장자리에서 터지지 않습니다. Chebyshev 노드 를 사용하는 경우이 다항식 등 전성이 발생하며 보간 오류가 최소화됩니다.

— 페드로
소스

6

John P. Boyd Chebyshev와 Fourier Spectral Methods 의 책에 Pedro의 보간 오차 다항식도 잘 설명되어 있습니다 (제 4.2 장 85).

— BORT

고맙습니다. 또한 위에서 언급 한 선택에 대한 Lebesgue 상수는 다르게 작동합니다. 등 간격 점의 경우 Lebesgue 상수가 기하 급수적으로 증가하는 반면 LG, LGL, Chebyshev의 경우 n이 증가하면 포화됩니다. en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_constant_(interpolation) , ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_33_from109to123.pdf 그러나 수치 구현에 관한 질문은 여전히 남아 있습니다 ...

— Subodh

죄송합니다. ENO / WENO에 대해 잘 모릅니다. 그러나 낮은 차수 보간을 위해 매끄러운 영역에서 문제를 예상하지는 않지만 직교 노드는 분명한 이유 때문에 확실히 좋은 선택입니다.

— Bort

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이것은 정말 흥미로운 질문이며 가능한 많은 설명이 있습니다. 다항식 보간법을 사용하려고하면 다항식이 다음과 같은 성가신 불평등을 충족한다는 점에 유의하십시오.

의 다항식 주어지면 $P$ $N$

| P^{'} (x) | \leq \frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}} max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \frac{N}{\sqrt{1-x^2}}\max _x |P(x) |$

모든 . 이것은 Bernstein의 불평등 으로 알려져 있습니다.이 불평등의 특이점에 주목하십시오. 이것은 마르코프 불평등에 의해 제한 될 수있다 $x \in (-1,1)$

max_{x} | P^{'} (x) | \leq N^{2} max_{x} | P (x) |

$\max _x |P^{\prime} (x) | \leq N^2 \max _x |P(x) |$

Chebysehv 다항식이 이것을 방정식으로 만든다는 점에서 이것은 예리 하다는 점에 유의하십시오 . 다시 말해 우리는 다음과 같은 결합 된 경계를 가지고 있습니다.

| P^{'} (x) | \leq min (\frac{N}{\sqrt{1 - x^{2}}}, N^{2}) max_{x} | P (x) |

$|P^{\prime}(x)| \leq \min \left(\frac{N}{\sqrt{1-x^2}},N^2\right)\max _x |P(x) |$

의미 : 다항식 그라디언트는 구간 경계의 작은 이웃을 제외하고 어느 곳에서나 순서대로 선형으로 성장합니다. 경계에서는 와 같이 더 커집니다 . 안정적인 보간 노드가 모두 경계 근처에 클러스터링을 갖는 것은 우연이 아닙니다 . 기준점의 그래디언트를 제어하려면 군집이 필요하지만 중간 점 근처에서는 조금 더 여유가 있습니다. $N^2$ $1/{N^2}$

그러나 이것이 반드시 다항 현상은 아니라는 것이 밝혀졌습니다. 다음 논문을 제안합니다.

http://math.la.asu.edu/~platte/pub/prevised.pdf

느슨하게 말합니다 : 다항식 기반의 근사치와 같은 근사치를 가지면 안정된 간격으로 동일한 간격의 점을 사용할 수 없습니다.

— 리드 애치슨
소스

1

그것은 동일한 간격없는 점을 문제입니다. 문제가되는 동일한 간격의 포인트와 함께 기본 함수의 글로벌 지원입니다. 동일한 간격의 점을 사용하여 완벽하게 조절 된 보간법은 Kress의 Numerical Analysis에 컴팩트 한 지지대의 입방 -b 스플라인 기반 함수를 사용하여 설명합니다.

— 사용자 14717
소스

그러나 보간법은 전 세계적으로 부드럽 지 않습니다 ( 예를 들어 만 해당 )

C^{2}

$C^2$

— GoHokies

@GoHokies : 반복적 인 컨볼 루션으로 원하는대로 부드럽게 지원되는 스플라인을 부드럽게 만들 수 있습니다. 보간 의 사용 사례는 무엇입니까 ?

C^{\infty}

$C^{\infty}$

— user14717

공정한 포인트. ( "위치 속도 가속")는 대부분의 응용 프로그램에 충분합니다. 일부 경계 값 문제에 대해 를 원할 수 있지만 그 이상의 일반적인 사용 사례는 생각할 수 없습니다.

C^{2}

$C^2$

C^{4}

$C^4$

— GoHokies

1

등거리 점의 경우 정확히 어떻게됩니까?

다항식 차수의 증가로 인해 특정 시점 이후에 오류가 발생하는 이유는 무엇입니까?

이것은 등 간격 노드에서 보간 오차가 다항도의 증가, 즉 포인트 수의 증가에 따라 무한대로 진행 되는 Runge 현상 과 유사합니다 .

이 문제의 근원 중 하나는 @Podro의 대답에 대한 @Subodh의 주석에서 언급 된 것처럼 Lebesgue 상수 에서 찾을 수 있습니다 . 이 상수는 보간과 최고의 근사값을 관련시킵니다.

일부 표기법

노드 위에 보간 하는 함수 가 있습니다. Lagrange 보간에서 Lagrange 다항식 이 정의됩니다 . $f \in C([a,b])$ $x_k$

L_{k} (x) = \prod_{i = 0, i \neq j}^{n} \frac{x - x_{i}}{x_{k} - x_{i}}

$L_k(x) = \prod_{i=0, i\neq j}^{n}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}$

이것은 빛 표기법 대한 커플 대한 보간 다항식 정의됩니다. $p_n \in P_n$ $(x_k, f(x_k))$ $(x_k, f_k)$

p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} f_{k} L_{k} (x)

$p_n(x) = \sum_{k=0}^n f_kL_k(x)$

이제 데이터에 대한 동요를 고려하십시오. 예를 들어 반올림이 될 수 있으므로 있습니다. 이를 통해 새로운 다항식 은 다음과 같습니다. $\tilde{f}_k$ $\tilde{p}_n$

{\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} {\tilde{f}}_{k} L_{k} (x)

$\tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n \tilde{f}_k L_k(x)$

오류 추정치는 다음과 같습니다.

p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} (f_{k} - {\tilde{f}}_{k}) L_{k} (x)

$p_n(x) - \tilde{p}_n(x) = \sum_{k=0}^n (f_k - \tilde{f}_k) L_k(x)$

| p_{n} (x) - {\tilde{p}}_{n} (x) | \leq \sum_{k = 0}^{n} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} | | L_{k} (x) | \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$| p_n(x) - \tilde{p}_n(x) | \leq \sum_{k=0}^n |f_k - \tilde{f}_k| |L_k(x)| \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

이제 Lebesgue의 상수 을 다음과 같이 정의 할 수 있습니다 . $\Lambda_n$

Λ_{n} = max_{x \in [a, b]} \sum_{k = 0}^{n} | L_{k} (x) |

$\Lambda_n = \max_{x \in [a,b]} \sum_{k=0}^n |L_k(x)|$

이를 통해 최종 견적은 다음과 같습니다.

| | p_{n} - {\tilde{p}}_{n} | |_{\infty} \leq (max_{k} | f_{k} - {\tilde{f}}_{k} |) Λ_{n}

$|| p_n - \tilde{p}_n ||_{\infty} \leq \left ( \max_k |f_k - \tilde{f}_k| \right) \Lambda_n$

(마지막 메모, 우리는 규범 만 보았습니다. 유한 측정 공간을 차지하기 때문에 ) $\infty$ $L^{\infty} \subseteq \dots \subseteq L^1$

위 계산에서 은 다음과 같습니다. $\Lambda_n$

날짜와 무관 :
노드 분포에만 의존합니다.
안정성의 지표 (더 작을수록 좋습니다).

보간 연산자의 기준은 규범. $|| \cdot||_\infty$

추종 정리를 통해 우리는 Lebesgue의 상수에 대한 보간 오차의 추정치를 얻었습니다.

하자 와 우리가 위 등을 여기서 는 가장 균일 한 근사 다항식의 오차입니다. $f$ $p_n$
$| | f - p_{n} | |_{\infty} \leq (1 + Λ_{n}) d_{n} (f)$ $|| f - p_n ||_{\infty} \leq (1 + \Lambda_n) d_n(f)$ $d_{n} (f) = inf_{q_{n} \in P_{n}} | | f - q_{n} | |_{\infty}$ $d_n(f) = \inf_{q_n \in P_n} || f - q_n ||_{\infty}$

즉, 이 작 으면 보간의 오차는 가장 균일 한 근사치의 오차와 멀지 않으며 정리는 가장 작은 오차와 보간 오차를 가장 균일 한 근사치의 오차로 비교합니다. $\Lambda_n$

이를 위해 보간 동작은 노드 분포에 따라 다릅니다. 대한 하한이 노드 분포를 주어진 상수를 존재 같은 그 : 상수가 증가하므로,하지만 어떻게 성장이다 수입. $\Lambda_n$ $c$

Λ_{n} \geq \frac{2}{π} \log (n) - c

$\Lambda_n \geq \frac{2}{\pi} \log(n) - c$

대한 동등 간격 노드 나는 몇 가지 세부 사항을 생략하지만, 우리는 성장한다 기하 급수적 인 것을 알 수있다.

Λ_{n} \approx \frac{2^{n + 1}}{e n \log (n)}

$\Lambda_n \approx \frac{2^{n+1}}{en \log(n)}$

들어 체비 쇼프 노드 도 여기에 내가 몇 가지 세부 사항을 생략,보다 정확하고 복잡한 추정이있다. 자세한 내용은 [1]을 참조하십시오. Chebyshev 제품군의 노드는 대수적으로 증가했으며 이전 추정치에서 얻을 수있는 최고 수준에 가깝습니다.

Λ_{n} \leq \frac{2}{π} \log (n) + 4

$\Lambda_n \leq \frac{2}{\pi} \log(n) + 4$

다른 노드 배포에 대해서는 이 기사의 표 1을 참조하십시오 .

보간에 관한 책에는 많은 참조가 있습니다. 온라인으로이 슬라이드 는 이력서로 좋습니다.

또한 이 공개 기사 ([1])

다양한 비교를 위해 구간 에서 다항식에 대한 수치 적 7 그리드 보간 비교 .

— 마우로 반제 토
소스

1

등거리 점 작업 해야 할 경우 Floater-Hormann 보간법을 알고있는 것이 좋습니다 . $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

인 정수 가 주어지면, 는 의 다항 보간법이 됩니다. 그런 함수의 보간 된 FH의 에서 형태를 갖는다 $d$ $0 \le d \le n$ $p_i$ $\{ x_i, \ldots x_{i+d} \}$ $f$ $\{x_i\}_{i=1\ldots n}$

r_{n} (x) := \frac{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x) p_{i} (x)}{\sum_{i = 0}^{n - d} λ_{i} (x)}

$r_n(x) := \frac{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x) \, p_i(x)}{\sum_{i=0}^{n-d} \lambda_i(x)}$

"블렌딩 기능"

λ_{i} (x) = \frac{(- 1)^{i}}{(x - x_{i}) \dots (x - x_{i + d})}

$\lambda_i(x) = \frac{(-1)^i}{(x-x_i) \ldots (x - x_{i+d})}$

이 보간의 일부 속성 :

그것들은 실제 극을 갖지 않는 무게 중심의 합리적인 보간 자 입니다 .
대해 임의의 근사 순서 를 달성합니다 . ${\cal O}(h^{d+1})$ $f \in C^{d+2}[a,b]$
스플라인은 스플라인과 다소 비슷합니다. 다항식 보간 를 와 블렌딩 함수로 블렌딩한다는 점입니다. $p_0, \ldots p_{n-d}$ $\lambda$
그들은 최대 의 차수의 다항식 (또는 가 홀수 인 경우 을 재현합니다 . $d$ $d+1$ $n-d$
barycentric 형식으로 작성 될 수 있습니다 (Floater 및 Hormann 논문의 섹션 4 참조).

주의 사항 : 예상대로 (@ Reid.Atcheson이 참조한 논문 참조) 늘리면 근사 프로세스의 컨디셔닝이 빠르게 저하됩니다. $d$

이 문제를 완화하기 위해 Klein이 수행 한 최근 작업이 있습니다. 그는 주어진 데이터 만 사용하여 외부 의 부드러운 확장으로 구성된 원래 보간 간격 외부의 점에 해당하는 새로운 데이터 값 을 추가하여 원래 Floater-Hormann 접근 방식을 수정했습니다 . 이 "전역"데이터 세트는 새로운 FH 합리적 함수 의해 보간되고 내부 에서만 평가 됩니다 . $2 d$ $[a,b]$ $f$ $[a,b]$ $f_0, \ldots f_n$ $r_{n+2d}$ $[a,b]$

자세한 내용은 Klein의 논문 (아래 링크)에 잘 정리되어 있습니다.이 확장 된 합리적인 보간 에는 Lebegue 상수가 및 와 함께 대수적 으로 증가하는 것으로 표시됩니다 (원래 FH 체계의 경우 성장은 지수 입니다. 보스 참조) 외 ). $n$ $d$ $d$

Chebfun 라이브러리는 여기에chebfuns 설명 된대로 등거리 데이터로 구축 할 때 FH 보간기를 사용 합니다 .

참고 문헌 :

MS Floater 및 K. Hormann, 극점이없고 근사치가 높은 Barycentric 합리적인 보간, Numerische Mathematik 107 (2007).

G. Klein, Floater-Hormann Barycentric Rational Interpolants의 확장, 계산 수학 , 82 (2011)- 서문

L. Bos, S. De Marchi, K. Hormann 및 G. Klein, Lebesgue에서 등거리 노드에서 Barycentric 합리적인 보간 상수 Numer. 수학. 121 (2012)

— 고호 키스
소스