가우시안 차이, 가우시안 라플라스 및 멕시코 모자 웨이블릿의 차이점은 무엇입니까?

CV에는 서로 매우 유사 해 보이지만 미묘한 차이가있는 세 가지 기술이 있습니다.

• 가우시안 라플라시안 : $\nabla^2\left[g(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• 가우스 차이 : $\left[g_1(x,y,t)\ast f(x,y)\right] - \left[g_2(x,y,t)\ast f(x,y)\right]$
• Ricker 웨이블릿 과의 컨벌루션 : $\textrm{Ricker}(x,y,t)\ast f(x,y)$

내가 현재 이해하는 바와 같이 : DoG는 LoG의 근사치입니다. 둘 다 얼룩 탐지에 사용되며 둘 다 본질적으로 대역 통과 필터로 작동합니다. 멕시코 모자 / 리커 웨이블릿과의 컨볼 루션은 거의 같은 효과를 달성하는 것으로 보입니다.

필자는 세 가지 기법을 모두 펄스 신호에 적용했는데 (크기를 비슷하게하기 위해 필요한 스케일링으로) 결과는 매우 가깝습니다. 실제로 LoG와 Ricker는 거의 동일하게 보입니다. 내가 알아 차린 유일한 차이점은 DoG 와 관련이 있습니다. LoG 및 Ricker에 대해 2 개의 무료 매개 변수 ( 및 σ 1 ) 대 1 을 조정했습니다 . 또한 잔물결이 DoG의 경우 2 대 2의 단일 회선 (Doier의 경우 푸리에 공간에서 곱셈을 통해 수행 됨)과 LoG의 경우 Laplacian으로 수행 할 수 있기 때문에 가장 쉽고 빠릅니다. $\sigma_1$$\sigma_1$

• 각 기술의 비교 장점 / 단점은 무엇입니까?
• 하나가 다른 것에 비해 다른 사용 사례가 있습니까?

I는 이산 샘플에서 보낸 같은 조작에 로그인하고 Ricker 축퇴 것을 직관적으로 생각이 커널로서 구현 될 수있다 [ - 1 , 2 , - 1$\nabla^2$ .

$$\begin{bmatrix}-1,& 2,& -1\end{bmatrix}\quad\text{or}\quad\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\quad\text{for 2D images}$$

가우시안에이 작업을 적용하면 Ricker / Hat 웨이블릿이 생성됩니다. 또한 LoG와 DoG는 열 확산 방정식과 관련이 있기 때문에 충분한 매개 변수 왜곡과 일치시킬 수 있다고 생각합니다.

(나는 여전히이 물건으로 발을 적시고있어 자유롭게 수정할 수 있습니다!)

가우시안 라플라스

$f$

$$\nabla^2 (f * g) = f * \nabla^2 g$$

$g$$*$

$$f * \nabla^2 g = f * \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}g+\frac{\partial^2}{\partial y^2}g\right) = f * \frac{\partial^2}{\partial x^2}g + f * \frac{\partial^2}{\partial y^2}g$$

따라서, 가우스 커널의 2 차 도함수로 입력 이미지의 2 개 컨볼 루션을 추가하는 것으로 계산할 수 있습니다 (3D에서는 3 개 컨볼 루션 등). 이것은 가우스 커널이 그 파생어와 같이 분리 가능하기 때문에 흥미 롭습니다. 그건,

$$f(x,y) * g(x,y) = f(x,y) * \left( g(x) * g(y) \right) = \left( f(x,y) * g(x) \right) * g(y)$$

즉, 2D 컨벌루션 대신 두 개의 1D 컨볼 루션을 사용하여 동일한 것을 계산할 수 있습니다. 이것은 많은 계산을 저장합니다. 생각할 수있는 가장 작은 가우시안 커널의 경우 각 차원마다 5 개의 샘플이 있습니다. 2D 컨벌루션에는 25 곱셈과 덧셈, 2 개의 1D 컨벌루션에는 10이 필요합니다. 커널이 클수록 또는 이미지의 크기가 클수록 계산 비용이 크게 절감됩니다.

따라서, LoG는 4 개의 1D 컨볼 루션을 사용하여 계산 될 수있다. 그러나 LoG 커널 자체는 분리 할 수 ​​없습니다.

$\nabla^2$

Ricker wavelet 또는 Mexican hat 연산자는 스케일링 및 정규화까지 LoG와 동일합니다 .

가우스의 차이

$f$

$$f * g_{(1)} - f * g_{(2)} = f * (g_{(1)} - g_{(2)})$$

따라서 LoG와 마찬가지로 DoG는 분리 할 수없는 단일 2D 컨볼 루션 또는 분리 가능한 두 컨볼 루션의 합 (이 경우 차이)으로 볼 수 있습니다. 이런 식으로 보면 LoG보다 DoG를 사용할 때 계산상의 이점이없는 것처럼 보입니다. 그러나 DoG는 동조 가능한 대역 통과 필터이며 LoG는 같은 방식으로 동조 할 수 없으므로 미분 연산자로 간주해야합니다. DoG는 또한 스케일 공간 설정에서 자연스럽게 나타나며, 이미지는 많은 스케일 (시그마가 다른 가우스)로 필터링되며 후속 스케일 간의 차이는 DoG입니다.

DoG 커널에 대한 근사치가 분리 가능하여 계산 비용을 절반으로 줄이지 만 근사치가 등방성이 아니기 때문에 필터의 회전 의존성을 초래합니다.

한 번은 두 가우시안 커널 사이의 시그마 차이가 무한히 작은 (확장까지) DoG에 대해 LoG와 DoG의 동등성을 보여주었습니다. 나는 이것에 대한 기록이 없지만 보여주기는 어렵지 않았다.

이 필터를 계산하는 다른 형태

Laurent의 답변은 재귀 필터링을 언급하고 OP는 푸리에 도메인에서의 계산을 언급합니다. 이러한 개념은 LoG와 DoG 모두에 적용됩니다.

가우시안 및 그 유도체는 인과 안티 인과 IIR 필터를 사용하여 계산 될 수있다. 따라서 위에서 언급 한 모든 1D 컨벌루션은 시그마에서 일정한 시간에 적용 할 수 있습니다. 이것은 더 큰 시그마에만 효율적입니다.

마찬가지로 푸리에 도메인에서 컨볼 루션을 계산할 수 있으므로 DoG 및 LoG 2D 커널을 푸리에 도메인으로 변환하거나 계산하여 곱셈으로 적용 할 수 있습니다.

결론적으로

이 두 가지 접근 방식의 계산 복잡도에는 큰 차이가 없습니다. 아직 DoG를 사용하여 LoG를 근사화 할만한 충분한 이유를 찾지 못했습니다.

다음 Ricker은 (등방성) 마르 웨이블릿 멕시코 모자 또는 가우시안의 라플라시안가 동일한 개념으로 속해 웨이블릿 연속 허용 웨이블릿 (특정 조건을 만족하는). 전통적으로 Ricker wavelet은 1D 버전입니다. Marr 웨이블릿 또는 멕시코 모자는 2D 이미지 분해와 관련하여 주어진 이름입니다. 예를 들어 멀티 스케일 지오메트리 표현에 관한 파노라마의 2.2 절 , 공간, 방향 및 주파수 선택을 엇갈리게하는 , Signal Processing, 2011, L. Jacques et 알. 가우시안의 라플라시안은 다차원 일반화입니다.

그러나 실제로 사람들은 다른 수준에서 다른 유형의 이산화를 받아들입니다.

$3\times 3$$3\times 3$

$$\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$$

또는

$$\begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{pmatrix}$$ $5\times 5$

$\sigma_1$$\sigma_2$

그러나 일부 라플라시안 피라미드에서는 다른 비율이 사용되어 DoG를보다 일반적인 대역 통과 필터 또는 에지 검출기로 전환했습니다.

마지막 참조 : 일반화 된 척도 공간 관심 포인트를 사용한 이미지 매칭 , T. Lindeberg, 2015.