경우 베타 후 보여 독립적 또한 베타

몇 년 전 우리 대학에서 학기 시험에 나온 문제는 해결하기 위해 고군분투하고 있습니다.

경우 무관 밀도 확률 변수 과 각각 해당 표시 다음 . $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

나는 Jacobian 방법을 사용하여 의 밀도가 다음과 . $Y=\sqrt{X_1X_2}$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

나는이 시점에서 실제로 길을 잃었다. 이제 주요 논문에서 힌트가 제공되었다는 것을 알았습니다. 힌트를 사용하려고했지만 원하는 식을 얻을 수 없습니다. 힌트는 다음과 같이 그대로입니다.

힌트 : 및 의 주어진 밀도와 관련 하여 의 밀도에 대한 공식을 하고 로 변수 변경을 사용하십시오 . $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

이 시점에서 변수의 변경을 고려하여이 힌트를 사용하려고합니다. 그러므로 나는 단순화 후 ( 로 쓰기 )

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

나는 진행하는 방법을 정말로 모른다. 힌트를 제대로 해석하고 있는지조차 확실하지 않습니다. 어쨌든, 여기에 나머지 힌트가 있습니다.

변수 의 변경을 사용하여 평균을 필요한 밀도를 두 가지 방법으로 표현할 수 있습니다. 하기로 적분의 범위를 분할 및 및 쓰기 로 진행하고 . $z=\dfrac{y^2}{x}$
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

솔직히 말해서이 힌트를 어떻게 사용할 수 있는지 이해할 수 없습니다. 도움을 부탁드립니다. 미리 감사드립니다.

— 랜던 카터
소스

비슷한 참조를하기 전에 비슷한 문제를 겪었습니다. 참조 arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf의 mathoverflow.net/questions/32782/...

— 시드

@Sid 죄송하지만 해당 참조 또는 유사한 항목 에서이 문제를 찾을 수 없습니다. 친절하게 장소를 지적 해 주시겠습니까? 감사!!

— 랜던 카터

Jacobian 방법을 올바르게 적용 했습니까? 내가하면, 두배가 필요하다고 생각합니다 공식 , en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function 참조

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst

분명히 수식은 동일한 것 같습니다. 어쩌면 수식에서 변수 의 변경을 사용해야 할 수도 있습니다 . 나는 야곱 인에 대해 이야기하고 있습니다.

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— 랜던 카터

나는 그들이 같은 생각하지 않습니다. 내 공식에 언급 한 변수를 변경하면 OP의 첫 번째 필수 요소보다 약간 더 간단한 것을 얻습니다.

— StijnDeVuyst

나는 순간 생성 함수를 사용하여 다른 방식으로 이것을 증명할 것입니다. 또는 동일의 것을 표시하여 의 모멘트 일 받는 동일한 랜덤 변수의 일 순간 와 분포. 이것이 모든 에 해당하는 경우 모멘트 문제의 강도에 의해 운동이 입증됩니다. $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

마지막으로, 우리는 http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments 에서 의 번째 순간 이 이제 첫 번째 부분 : $q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ 이제 모든 남아 정의 적용하는 것을 하고 배로 수식 . 그런 다음 첫 번째 부분과 두 번째 부분이 정확히 동일하다는 것이 밝혀졌습니다.

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
소스

순간의 평등이 분포의 평등을 의미한다고 말할 수는 없다고 생각합니다. 이것이 유지되지 않을 수있는 예가 있습니다.

— 랜던 카터

StijnDeVuyst, 죄송합니다. 용인 할 수없는 답변입니다. 모멘트가 동일하지만 분포가 동일하지 않은 예가 있습니다. 그러나 예제는 약간 복잡합니다. 유감스럽게도 나는 지금 나와 함께 모범을 보이지 않습니다. 또한 한 학기 시험에 나왔습니다. 그러나 관심이 있다면 곧이 스레드에 예제를 게시 할 것입니다. 어쨌든 나는 문제를 스스로 해결했다. 당신의 도움을 주셔서 감사합니다.

— 랜던 카터

@yedaynara and Stijn : A (the?) 고전적인 예는 Heyde 때문입니다. pdfs 여기서 은 pdf입니다. 표준 로그 정규 및 . 이 배포 제품군의 모든 구성원은 모든 주문에서 동일한 순간을 갖습니다. 표준 로그 노멀은이 패밀리의 멤버이며 그 순간은 멋진 닫힌 형태입니다.

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— 추기경

그러나 현재 분포의 고유성을 보장 할 추가 조건 (예 : Carleman 's)이 있습니다. 이것을 햄버거 모멘트 문제라고 합니다.

— 추기경

web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/ 에서 인용 ... "... 유한 한지지를 가진 긍정적 인 척도는 그 순간에 의해 유일하게 결정되는지를 확인하는 것은 초등 선형 대수학입니다." OP의 베타 분포에 대한 M 결정에 대한 Carleman 조건. @ cardinal과 yedaynara는 내가 이것을 너무 빨리 가정했다고 생각합니다. 그러나 분명히 유한 한 지원은 하루를 절약하는 것입니다.

— StijnDeVuyst