분배 기능

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각각 4 개의 독립적으로 균일하게 분포 된 변수 있습니다. 의 분포를 계산하고 . I는 분포 계산 할 (따라서 ), 그리고 는 이제 합계 의 분포 는 ( 입니다. 독립) 때문에 $a,b,c,d$ $[0,1]$ $(a-d)^2+4bc$ $u_2=4bc$

f_{2} (u_{2}) = - \frac{1}{4} \ln \frac{u_{2}}{4}

$f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4}$

u_{2} \in (0, 4]

$u_2\in(0,4]$

u_{1} = (a - d)^{2}

$u_1=(a-d)^2$

f_{1} (u_{1}) = \frac{1 - \sqrt{u_{1}}}{\sqrt{u_{1}}} .

$f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.$

u_{1} + u_{2}

$u_1+u_2$

u_{1}, u_{2}

$u_1,\, u_2$

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (x - y) f_{2} (y) d y = - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y,

$f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,$

y \in (0, 4]

$y\in(0,4]$ . 여기서 적분은

같으므로

이제 Mathematica에 삽입하고

x > y

$x>y$

{에프}_{유_{1} + 유_{2}} (엑스) = - \frac{1}{4} \int_{0}^{엑스} \frac{1 - \sqrt{엑스 - 와이}}{\sqrt{엑스 - 와이}} \cdot \ln \frac{와이}{4} 디 와이 .

$f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.$

{에프}_{유_{1} + 유_{2}} (엑스) = \frac{1}{4} [- 엑스 + 엑스 \ln \frac{엑스}{4} - 2 \sqrt{엑스} (- 2 + \ln 엑스)] .

$f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right].$

나는 각각 숫자 로 구성된 4 개의 독립적 인 집합 만들고 의 막대 그래프를 그렸습니다 . $a,b,c,d$ $10^6$ $(a-d)^2+4bc$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

그리고 의 플롯을 그렸습니다 $f_{u_1+u_2}(x)$ :

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

일반적으로 플롯은 히스토그램과 유사하지만 구간 $(0,5)$ 대부분 음수입니다 (근은 2.27034 임). 그리고 양수 부분의 적분은 $\approx 0.77$ 입니다.

실수는 어? 어? 아니면 내가 놓친 부분이 있습니까?

편집 : PDF를 표시하도록 히스토그램의 크기를 조정했습니다.

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

편집 2 : 내 추론의 문제가 어디에 있는지 알고 있습니다-통합 한계. 왜냐하면 과 , I 수 단순히 플롯이 도시 I에 통합해야하는 영역을 포함한다. : $y\in (0,4]$ $x-y\in(0,1]$ $\int_0^x$

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

이것은 대해 ( 일부 가 올바른 이유 ), in 및 in 불행히도, Mathematica는 후자의 두 정수를 계산하지 못합니다 (물론, 두 번째는 계산에 모든 것을 망치는 가상의 단위가 있기 때문에 계산합니다). ). $\int_0^x$ $y\in(0,1]$ $f$ $\int_{x-1}^x$ $y\in(1,4]$ $\int_{x-1}^4$ $y\in (4,5]$

편집 3 : Mathematica CAN은 다음 코드를 사용하여 마지막 세 가지 적분을 계산할 수 있습니다.

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1}, Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4}, Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]

정답 :)

— 코리
소스

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시뮬레이션으로 답변의 합리성을 확인하려고 시도한 것이 좋습니다. 문제는 오류가 발생 했다는 것을 알고 있지만 어디에서나 볼 수 없다는 것입니다. 오류가있는 위치의 문제를 해결하기 위해 분석법의 각 단계 를 확인할 수 있다고 생각 했습니까 ? 예를 들어, 오류가 있습니까? 글쎄, 당신은 당신의 최종 답변과 같은 시뮬레이션 결과에 대해 계산 된 PDF를 확인할 수 있습니다. 저두 요 . 경우 및 모두 올바른지를 결합 할 때, 당신은 오류를했다. 이러한 단계별 점검을 통해 잘못된 부분을 정확하게 찾아 낼 수 있습니다!

f_{1} (u_{1})

$f_1(u_1)$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

— Silverfish

첫 시도를 버리고 처음부터 다시 계산했습니다. 나는 과 가 정확 하다고 생각 하지만, 초기 에 2를 곱하여 1로 정규화해야했습니다. 그러나 그것은 단지 높이를 바꾸고 왜 내가 음의 가지는지 설명하지 않습니다 .

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f

$f$

— corey979

이러한 히스토그램을 생성하여 계산 된 대 수량과 비교할 때 히스토그램의 스케일을 유효한 밀도로 조정하십시오 (가능한 경우 중첩). f1과 f2에 대해 비슷한 검사를 수행하여 올바른 권한을 가지고 있는지 확인하십시오. 그들이 옳다면 (아직 그것들을 의심 할만한 좋은 이유는 보이지 않았지만, 다시 확인하는 것이 가장 좋습니다), 문제는 나중에 야합니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

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종종 누적 분포 함수를 사용하는 데 도움이됩니다.

먼저,

F (x) = Pr ((a - d)^{2} \leq x) = Pr (| a - d | \leq \sqrt{x}) = 1 - (1 - \sqrt{x})^{2} = 2 \sqrt{x} - x .

$F(x) = \Pr((a-d)^2 \le x) = \Pr(|a-d| \le \sqrt{x}) = 1 - (1-\sqrt{x})^2 = 2\sqrt{x} - x.$

다음,

G (y) = Pr (4 b c \leq y) = Pr (b c \leq \frac{y}{4}) = \int_{0}^{y / 4} d t + \int_{y / 4}^{1} \frac{y d t}{4 t} = \frac{y}{4} (1 - \log (\frac{y}{4})) .

$G(y) = \Pr(4 b c \le y) = \Pr(b c \le \frac{y}{4}) = \int_0^{y/4} dt + \int_{y/4}^1\frac{y\,dt}{4t} = \frac{y}{4}\left(1 - \log\left(\frac{y}{4}\right)\right).$

하자 최소 사이의 범위 ( ) 및 최대 ( 의) 가능한 값 . 쓰기 CDF와 와 PDF와 , 우리는 계산에 필요 $\delta$ $0$ $5$ $(a-d)^2 + 4 b c$ $x=(a-d)^2$ $F$ $y=4 b c$ $g = G^\prime$

H (δ) = Pr ((a - d)^{2} + 4 b c \leq δ) = Pr (x \leq δ - y) = \int_{0}^{4} F (δ - y) g (y) d y .

$H(\delta) = \Pr((a-d)^2 + 4 b c \le \delta) = \Pr(x\le \delta-y) = \int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy.$

우리는 이것이 불쾌 할 것으로 예상 할 수 있습니다 . 균일 한 분포 PDF는 불연속 적이므로 의 정의를 깨뜨려야 합니다. 그래서 Mathematica 가 닫힌 형태 (여기서는 재현하지 않을 것입니다)를 얻는 것이 다소 놀랍 습니다. 와 관련하여이를 차별화 하면 원하는 밀도가 제공됩니다. 세 간격 내에서 부분 단위로 정의됩니다. 에서는 , $H$ $\delta$ $0 \lt \delta \lt 1$

H^{'} (δ) = h (δ) = \frac{1}{8} (8 \sqrt{δ} + δ (- (2 + \log (16))) + 2 (δ - 2 \sqrt{δ}) \log (δ)) .

$H^\prime(\delta) = h(\delta) = \frac{1}{8} \left(8 \sqrt{\delta }+\delta (-(2+\log (16)))+2 \left(\delta -2 \sqrt{\delta }\right) \log (\delta )\right).$

에서는 , $1 \lt \delta \lt 4$

h (δ) = \frac{1}{4} (- (δ + 1) \log (δ - 1) + δ \log (δ) - 4 \sqrt{δ} \coth^{- 1} (\sqrt{δ}) + 3 + \log (4)) .

$h(\delta) = \frac{1}{4} \left(-(\delta +1) \log (\delta -1)+\delta \log (\delta )-4 \sqrt{\delta } \coth ^{-1}\left(\sqrt{\delta }\right)+3+\log (4)\right).$

그리고 에서 $4 \lt \delta \lt 5$

\begin{aligned} h (δ) = \\ \frac{1}{4} (δ - 4 \sqrt{δ - 4} + (δ + 1) \log (\frac{4}{δ - 1}) + 4 \sqrt{δ} \tanh^{- 1} (\frac{\sqrt{(δ - 4) δ} - \sqrt{δ}}{δ - \sqrt{δ - 4}}) - 1) . \end{aligned}

$\eqalign{ &h(\delta) = \\ &\frac{1}{4}\left(\delta -4 \sqrt{\delta -4}+(\delta +1) \log \left(\frac{4}{\delta -1}\right)+4 \sqrt{\delta } \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\delta -4) \delta }-\sqrt{\delta }}{\delta -\sqrt{\delta -4}}\right)-1\right). }$

이 그림 은 의 iid 실현 히스토그램 에서 플롯을 오버레이합니다 . 이 둘은 거의 구별 할 수 없으므로 에 대한 공식의 정확성을 암시합니다 . $h$ $10^6$ $(a-d)^2 + 4bc$ $h$

다음은 생각이 거의없고 무차별 대항 Mathematica 솔루션입니다. 실제로 계산에 대한 모든 것을 자동화합니다. 예를 들어 결과 변수의 범위를 계산할 수도 있습니다.

ClearAll[ a, b, c, d, ff, gg, hh, g, h, x, y, z, zMin, zMax, assumptions];
assumptions = 0 <= a <= 1 && 0 <= b <= 1 && 0 <= c <= 1 && 0 <= d <= 1; 
zMax = First@Maximize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];
zMin = First@Minimize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];

여기에 모든 통합과 차별화가 있습니다. (참을성있게; 계산하는 데 몇 분이 걸립니다.) $H$

ff[x_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[(a - d)^2 <= x], {a, 0, 1}, {d, 0, 1}];
gg[y_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[4 b c <= y], {b, 0, 1}, {c, 0, 1}];
g[y_]  := Evaluate@FullSimplify@D[gg[y], y];
hh[z_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[ff[-y + z] g[y], {y, 0, 4}, 
          Assumptions -> zMin <= z <= zMax];
h[z_]  :=  Evaluate@FullSimplify@D[hh[z], z];

마지막으로, 그래프에 대한 시뮬레이션 및 비교 : $h$

x = RandomReal[{0, 1}, {4, 10^6}];
x = (x[[1, All]] - x[[4, All]])^2 + 4 x[[2, All]] x[[3, All]];
Show[Histogram[x, {.1}, "PDF"], 
 Plot[h[z], {z, zMin, zMax}, Exclusions -> {1, 4}], 
 AxesLabel -> {"\[Delta]", "Density"}, BaseStyle -> Medium, 
 Ticks -> {{{0, "0"}, {1, "1"}, {4, "4"}, {5, "5"}}, Automatic}]

— 우버
소스

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(+1), 특히 밀도 컨볼 루션에 대해 사람들에게 "종종 누적 분포 함수를 사용하는 것이 도움이됩니다" 라고 상기 시킵니다. 그리고 당신도 빨리 지냈어 요.

— Alecos Papadopoulos 2016

이해하고 싶은 깔끔한 솔루션처럼 보입니다. 나는 영아보다 더 미적분입니다. 이 순간에 나는 세 가지 질문이 : 내가) 어떻게 얻을 수있는 CDF를 사용 했 와 , II)가 왜 와 의 통합에 따라 , 및 III)의 형태에서 당신을 어떻게 솔루션 결과가 부분적으로 나타납니다.

F (x)

$F(x)$

G (y)

$G(y)$

F

$F$

g

$g$

H

$H$

— corey979

(1) 와 는 CDF입니다. 그것들은 처음 등장한 후 첫 번째 평등으로 표시되는 CDF의 정의에서 계산됩니다. 자세한 내용은 내가 삽입 한 코드에 분명해야합니다. (2) 이것은 합계에 대한 컨볼 루션 공식입니다 ( stats.stackexchange.com/a/144237 에서 유사한 계산에 자세히 설명되어 있음 ). (3) 균일 분포의 속성에 대한 다른 스레드에 대한 링크를 삽입했습니다.