혼합 효과 모델의 모델 행렬

에서 lmer내 기능 lme4에 R임의 효과의 모델 매트릭스 구성에 대한 요구가 같은 설명, 여기 , 페이지 7-9.$Z$

계산 하는 것은 J_i 및 X_i 의 두 행렬의 KhatriRao 및 / 또는 Kronecker 곱을 수반 합니다. J i X $Z$$J_i$$X_i$

행렬 $J_i$ 는 한 입 가득입니다. "그룹화 인자 지수의 지표 행렬"이지만 더 높은 계층 레벨에 해당하는 단위 (예 : 반복 측정 대상)를 "켜기"위해 더미 코딩을 사용하는 희소 행렬 인 것 같습니다. 모든 관찰. $X_i$ 매트릭스는 모두 "선택자"의 조합은, 매트릭스를 수득 할 그래서, 하부 계층 레벨의 측정 선택기로서 작용하는 것으로 보인다 $Z_i$ 다음의 예를 통해 용지에 도시 된 형태 :

(f<-gl(3,2))

[1] 1 1 2 2 3 3
Levels: 1 2 3

(Ji<-t(as(f,Class="sparseMatrix")))

6 x 3 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
     1 2 3
[1,] 1 . .
[2,] 1 . .
[3,] . 1 .
[4,] . 1 .
[5,] . . 1
[6,] . . 1

(Xi<-cbind(1,rep.int(c(-1,1),3L)))
     [,1] [,2]
[1,]    1   -1
[2,]    1    1
[3,]    1   -1
[4,]    1    1
[5,]    1   -1
[6,]    1    1

이러한 각 행렬을 전치하고 Khatri-Rao 곱셈을 수행합니다.

$\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 &. &. &. &.\\.&.&1&1&.&.\\.&.&.&.&1&1 \end{smallmatrix}\right]\ast \left[\begin{smallmatrix}\,\,\,\,1 & 1 &\,\,\,\,1 &1 &\,\,\,\,1 &1\\-1&1&-1&1&-1&1 \end{smallmatrix}\right]= \left[\begin{smallmatrix}\,\,1 & 1 &.&.&.&.\\\,\,\,\,-1 &1&.&.&.&.\\ .&.&\,\,\,\,\,1 &1&.&.\\.&.&\,\,-1&1&.&.\\.&.&.&.&\,\,\,1&1\\.&.&.&.&-1&1 \end{smallmatrix}\right]$

그러나 는 그 전치입니다.$Z_i$

(Zi<-t(KhatriRao(t(Ji),t(Xi))))

6 x 6 sparse Matrix of class "dgCMatrix"

[1,] 1 -1 .  . .  .
[2,] 1  1 .  . .  .
[3,] .  . 1 -1 .  .
[4,] .  . 1  1 .  .
[5,] .  . .  . 1 -1
[6,] .  . .  . 1  1

저자는의 데이터베이스 sleepstudy를 사용 lme4하지만이 특정 연구에 적용 할 때 디자인 매트릭스를 자세히 설명하지는 않습니다. 따라서 위의 논문에서 작성된 코드가 어떻게 더 의미있는 sleepstudy예로 해석되는지 이해하려고합니다 .

시각적 단순성을 위해 데이터 세트를 "309", "330"및 "371"의 세 가지 주제로 줄였습니다.

require(lme4)
sleepstudy <- sleepstudy[sleepstudy$Subject %in% c(309, 330, 371), ]
rownames(sleepstudy) <- NULL

간단한 OLS 회귀를 개별적으로 고려할 경우 각 개인은 매우 다른 절편과 기울기를 나타냅니다. 이는 피험자에 해당하는 더 높은 계층 또는 단위 수준의 혼합 효과 모델이 필요함을 나타냅니다.

    par(bg = 'peachpuff')
    plot(1,type="n", xlim=c(0, 12), ylim=c(200, 360),
             xlab='Days', ylab='Reaction')
    for (i in sleepstudy$Subject){
            fit<-lm(Reaction ~ Days, sleepstudy[sleepstudy$Subject==i,])
            lines(predict(fit), col=i, lwd=3)
            text(x=11, y=predict(fit, data.frame(Days=9)), cex=0.6,labels=i)
        }

혼합 효과 회귀 호출은 다음과 같습니다.

fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject), sleepstudy)

함수에서 추출한 행렬은 다음과 같습니다.

parsedFormula<-lFormula(formula= Reaction~Days+(Days|Subject),data= sleepstudy)
parsedFormula$reTrms

$Ztlist
$Ztlist$`Days | Subject`
6 x 12 sparse Matrix of class "dgCMatrix"

309 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330 . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . .
330 . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . . . . . . . .
371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

이것은 옳은 것처럼 보이지만 그렇다면 그 뒤에 선형 대수학이란 무엇입니까? 나는 1개인의 선택 행을 이해합니다 . 예를 들어, 주제 309는 기준선 + 9 개의 관측치에 대해 설정되어 있으므로 4 등을 얻습니다 1. 두 번째 부분은 0기준선, 1수면 박탈 첫날 등 의 실제 측정치입니다 .

그러나 실제 무엇 및 매트릭스 및 대응 또는 , 어느 관련이 있습니까?$J_i$ $X_i$ $Z_i= (J_i^{T}∗X_i^{T})^⊤$ $Z_i= (J_i^{T}\otimes X_i^{T})^⊤$

가능성이 있습니다.

$\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1&1&. &. &. &. &.& . &. &. &. &. &. &.&. & . &. &. &. &. &. &.\\ .&.&.&.&. & . &. &. &. &. &1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1&1&.& . &. &. &. &. &. &.&.&.\\&. & . &. &. &. &. &. &.&. & . &. &. &. &. &.&.&.&.&.&1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1&1\end{smallmatrix}\right]\ast \left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 & 1&1&1&1 & 1 & 1 & 1\\0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \end{smallmatrix}\right]=$

$\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 &1&1&1&1&1&1&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\0 & 1 & 2 &3&4&5&6&7&8&9&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&&.&.&.&.&.&1 &1&1&1&1&1&1&1&1&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\ &.&.&.&.&.&.&.&.&.&0 &1&2&3&4&5&6&7&8&9&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \end{smallmatrix}\right]$

문제는 lmer함수가 요구하는 것처럼 바뀌지 않고 를 만드는 규칙이 무엇인지 여전히 명확하지 않다는 것 입니다.$X_i$

1. 생성 원 행렬은 3 단계의 제조 수반 ( , 및 (10 개)의 관찰 또는 측정을 각 () ). OP의 원래 링크에있는 코드를 따릅니다.$J_i$309330371nrow(sleepstudy[sleepstudy$Subject==309,]) [1] 10

f <- gl(3,10) Ji<-t(as(f,Class="sparseMatrix"))

2. 건물 행렬은 함수를 사용하여 도움을받을 수있는 기준으로서이 :$X_i$getME

   library(lme4) sleepstudy <- sleepstudy[sleepstudy$Subject %in% c(309, 330, 371), ] rownames(sleepstudy) <- NULL fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject), sleepstudy)

Xi <- getME(fm1,"mmList")

조옮김이 필요하고 객체 Xi가 행렬이 아니기 때문에 다음과 같이 t(Xi)만들 수 있습니다.

t_Xi <- rbind(c(rep(1,30)),c(rep(0:9,3)))

3. $Z_i$ 는 .$Z_i= (J_i^{T}∗X_i^{T})^⊤$

Zi<-t(KhatriRao(t_Ji,t_Xi)):

이것은 원래 논문의 식 (6)에 해당 합니다 .

$$Z_i = (J_i^T*X_i^T)^T=\begin{bmatrix}J_{i1}^T\otimes X_{i1}^T\\J_{i2}^T\otimes X_{i2}^T\\\vdots\\J_{in}^T\otimes X_{in}^T\end{bmatrix}$$

그리고 이것을보기 위해 9 개의 측정 값과 기준선 (0) 대신 단 하나의 측정 값 (및 기준선) 만 있다고 상상함으로써 잘린 및 행렬로 대신 재생할 수 있습니다 . 결과 행렬은 다음과 같습니다. X T $J_i^T$$X_i^T$

X T가 나는 = [ 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1$J_i^T=\left[\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&1\end{smallmatrix}\right]$ 및 .$X_i^T=\left[\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1\\0&1&0&1&0&1\end{smallmatrix}\right]$

과

$J_i^T*X_i^T=\left[ \begin{smallmatrix} \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right) \end{smallmatrix} \right]$

$\small= \begin{bmatrix}J_{i1}^T\otimes X_{i1}^T && J_{i2}^T \otimes X_{i2}^T && J_{i3}^T\otimes X_{i3}^T && J_{i4}^T\otimes X_{i4}^T && J_{i5}^T\otimes X_{i5}^T && J_{i6}^T\otimes X_{i6}^T\end{bmatrix}$

$=\left[\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right]$ . 조옮김과 확장으로 인해 .$Z_i=\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&2&0&0&0&0\\\vdots\\\\0&0&1&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&1&2&0&0\\\vdots\\\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1&2\\\\\vdots\end{smallmatrix}\right]$

4. 랜덤 효과 계수 의 벡터 추출은 다음 함수를 사용하여 수행 할 수 있습니다.$b$

b <- getME(fm1,"b")

[1,] -44.1573839
[2,]  -2.4118590
[3,]  32.8633489
[4,]  -0.3998801
[5,]  11.2940350
[6,]   2.8117392

이러한 값을 호출의 고정 효과에 추가 fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject), sleepstudy)하면 인터셉트가 발생합니다.

205.3016 for 309; 282.3223 for 330; and 260.7530 for 371

그리고 슬로프 :

2.407141 for 309; 4.419120 for 330; and 7.630739 for 371

다음과 일치하는 값 :

library(lattice)
xyplot(Reaction ~ Days | Subject, groups = Subject, data = sleepstudy, 
       pch=19, lwd=2, type=c('p','r'))

5. $Zb$ 는로 계산할 수 있습니다 as.matrix(Zi)%*%b.