베이지안 대 빈번한 토론에 대한 수학적 근거가 있습니까?

Wikipedia 에서 다음과 같이 말합니다 .

확률의 수학은 확률에 대한 해석과는 크게 무관하다.

질문 : 수학적으로 정확하려면 확률에 대한 해석을 허용 해서는 안 됩니까? 즉, 베이지안과 잦은 수학적 모두 수학적으로 부정확합니까?

나는 철학을 좋아하지 않지만 수학을 좋아하며 Kolmogorov의 공리 체계 안에서 독점적으로 일하고 싶습니다. 이것이 나의 목표라면, 위키 백과에 나와있는 내용에서 베이지안과 잦은주의를 모두 거부해야 합니까? 개념이 순전히 철학적이며 전혀 수학적이지 않다면 왜 통계에 처음으로 나타나는가?

배경 / 컨텍스트 :
이 블로그 게시물 은 똑같은 말을하지는 않지만 기술을 "베이지안"또는 "자주 주의자"로 분류하려고하면 실용적 관점에서 비생산적이라고 주장합니다.

Wikipedia의 인용문이 참이면 통계적 방법을 분류하려고 시도하는 철학적 관점에서도 비생산적입니다. 방법이 수학적으로 정확하면 기본 수학의 가정이있을 때 방법을 사용하는 것이 좋습니다 보류, 그렇지 않으면 수학적으로 정확하지 않거나 가정이 유지되지 않으면 사용할 수 없습니다.

반면에, 많은 사람들이 확률 이론 (즉, 콜 모고 로프의 공리)으로 "바이에른 추론"을 식별하는 것처럼 보이지만, 왜 그런지는 잘 모르겠습니다. James Stone의 저서 "Bayes 'Rule"뿐만 아니라 "확률"이라고하는 베이지안 추론에 대한 Jaynes의 논문이 그 예입니다. 따라서 이러한 주장을 액면가로 취했다면 베이지안을 선호해야합니다.

그러나 Casella와 Berger의 책은 최대 가능성 추정값을 설명하지만 최대 추정값을 무시하기 때문에 자주 사용되는 것처럼 보이지만 그 안에있는 모든 것이 수학적으로 올바른 것처럼 보입니다.

그렇다면 수학적으로 정확한 통계의 유일한 버전은 베이지안과 잦은주의와 관련하여 완전히 무시할 수있는 것이 아니라는 것입니다. 두 분류가 모두있는 방법이 수학적으로 정확하다면, 다른 방법보다 선호하는 것이 부적절하지 않습니까? 정확하고 잘 정의 된 수학보다 모호하고 잘못 정의 된 철학을 우선시하기 때문입니다.

요약 : 간단히 말해서, 베이지안 대 빈번한 토론에 대한 수학적 근거가 무엇인지 이해하지 못하며 토론에 대한 수학적 근거가 없다면 (Wikipedia가 주장하는 것), 왜 그것이 허용되는지 이해하지 못합니다. 모든 학문 담론에서.

확률 공간과 Kolmogorov의 공리

확률 공간 는 정의상 트리플 플 여기서 는 일련의 결과이며 는 -algebra입니다. 의 서브 세트 와 콜 모고 로프, 즉의 공리 다하는 확률 측정 행 함수 에 되도록 및 해체를위한 에서 는 것을 보유 ( Ω , F , P ) Ω F σ Ω P P F [ 0 , 1 ] P ( Ω ) = 1 E 1 , E 2 , … F P ( ∪ ∞ j = 1 E j ) = ∑ ∞ j = 1 P ( E의 J$\mathcal{P}$$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} )$$\Omega$$\mathcal{F}$$\sigma$$\Omega$$\mathbb{P}$$\mathbb{P}$$\mathcal{F}$$[0,1]$$\mathbb{P}(\Omega)=1$$E_1, E_2, \dots$$\mathcal{F}$$P \left( \cup_{j=1}^\infty E_j \right)=\sum_{j=1}^\infty \mathbb{P}(E_j)$.

이 이벤트에 대한 하나의 수와 같은 확률 공간 내에서 에서 등의 조건부 확률을 정의F P ( E 1 | E 2 ) d e f = P ( E 1 ∩ E 2$E_1, E_2$$\mathcal{F}$$\mathbb{P}(E_1|_{E_2})\stackrel{def}{=}\frac{\mathbb{P}(E_1 \cap E_2)}{\mathbb{P}(E_2)}$

참고 :

1. 이 '조건부 확률'은 가 에 정의 된 경우에만 정의 되므로 조건부 확률을 정의 할 수있는 확률 공간이 필요합니다.$\mathbb{P}$$\mathcal{F}$
2. 확률 공간 (매우 일반적인 용어로 정의 세트 , -algebra 및 확률 계수 있지만 별개로), 유일한 요건은 특정 속성이 충족되어야한다는 것이다 이 세 가지 요소는``모든 것 ''일 수 있습니다.σ F $\Omega$ $\sigma$$\mathcal{F}$$\mathbb{P}$

자세한 내용은 이 링크를 참조하십시오

베이 즈의 규칙은 모든 (유효한) 확률 공간에서 유지됩니다

조건부 확률의 정의에서 합니다. 그리고 두 후자의 방정식에서 우리는 베이 즈의 규칙을 찾습니다. 따라서 베이 즈의 규칙은 (조건부 확률의 정의에 따라) 확률 공간에서 ( 각각의 방정식에서 및 을 도출합니다. (교차가 정류하기 때문에 동일합니다). P(E1∩E2)P(E2∩E1$\mathbb{P}(E_2|_{E_1})=\frac{\mathbb{P}(E_2 \cap E_1)}{\mathbb{P}(E_1)}$$\mathbb{P}(E_1 \cap E_2)$$\mathbb{P}(E_2 \cap E_1)$

베이지안 규칙은 베이지안 추론의 기초이므로, 유효한 (즉, 모든 조건을 충족시키는, ao Kolmogorov의 공리) 확률 공간에서 베이지안 분석을 수행 할 수 있습니다.

확률의 빈번한 정의는``특별한 경우 ''입니다

위의 내용은``일반적으로 '', 즉 가 하위 집합에 대한 -algebra 인 한 특정 , , 를 염두에 두지 않습니다. 와 콜 모고 로프의 공리를 충족합니다.F P F σ Ω $\Omega$$\mathcal{F}$$\mathbb{P}$$\mathcal{F}$$\sigma$$\Omega$$\mathbb{P}$

이제 우리는 대한 "자주적인"정의가 콜로 모고 로프의 공리를 충족 시킨다는 것을 보여줄 것입니다. 이 경우``자주적 ''확률은 Kolmogorov의 일반적이고 추상적 인 확률의 특별한 경우 일뿐입니다. $\mathbb{P}$

예를 들어 주사위를 굴려 봅시다. 그런 다음 가능한 모든 결과 는 입니다. 우리는 또한 필요 세트에 -algebra을 우리가 가지고 F를 의 모든 부분 집합의 집합 Ω 즉, F = 2 Ω .Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } σ $\Omega$$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$$\sigma$$\Omega$$\mathcal{F}$$\Omega$$\mathcal{F}=2^\Omega$

우리는 여전히 확률 측정 를 빈번하게 정의해야합니다 . 따라서 을 여기서 은 주사위의 롤 에서 얻은 의 개수입니다 . 와 비슷 하지만 ... 와 유사합니다 .$\mathbb{P}$$\mathbb{P}(\{1\})$ n11nP({2})P({6}$\mathbb{P}(\{1\}) \stackrel{def}{=} \lim_{n \to +\infty} \frac{n_1}{n}$$n_1$$1$$n$$\mathbb{P}(\{2\})$$\mathbb{P}(\{6\})$

이런 식으로 는 모든 싱글 톤에 대해 정의됩니다 . 의 다른 세트의 , 예를 들어, 우리가 정의 빈도주의 방식으로, 즉 이지만 'lim'의 선형성에 따르면 , 이는 Kolmogorov의 공리가 유지됨을 의미합니다.F F { 1 , 2 } P ( { 1 , 2 } ) P ( { 1 , 2 } ) d e f = lim n → + ∞ n 1 + n $\mathbb{P}$$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$\{1,2\}$$\mathbb{P}(\{1,2\})$ P({1})+P({2}$\mathbb{P}(\{1,2\}) \stackrel{def}{=} \lim_{n \to +\infty} \frac{n_1+n_2}{n}$$\mathbb{P}(\{1\})+\mathbb{P}(\{2\})$

따라서 확률의 잦은 정의는 Kolomogorov의 확률 측정에 대한 일반적이고 추상적 인 정의의 특별한 경우 일뿐입니다.

Kolmogorov의 공리를 충족시키는 확률 측정을 정의하는 다른 방법이 있으므로 잦은 정의가 유일한 것은 아닙니다.

결론

Kolmogorov의 공리 시스템의 확률은``추상 ''이며 실제 의미는 없으며``축소 ''라는 조건 만 충족하면됩니다. 이러한 공리 만 사용하여 Kolmogorov는 매우 풍부한 이론을 도출 할 수있었습니다.

확률에 대한 빈번한 정의는 공리를 가득 채우므로 추상적 인``무의미한 '' 를 빈번한 방식으로 정의 된 확률로 대체합니다 .`` 빈번한 확률 ''은 단지 특별한 것이기 때문에 이러한 모든 이론은 유효합니다 Kolmogorov의 추상 확률의 경우 (즉, 공리를 충족시킨다).$\mathbb{P}$

Kolmogorov의 일반 프레임 워크에서 파생 될 수있는 속성 중 하나는 베이 즈 규칙입니다. 일반적인 프레임 워크와 추상 프레임 워크에서와 같이, 확률이 잦은 방식으로 정의되는 특정한 경우에 (cfr 위)를 유지합니다 (빈번의 정의가 공리를 이행하고 이러한 공리가 유일한 것이기 때문에) 모든 정리를 도출). 따라서 확률의 빈번한 정의로 베이지안 분석을 수행 할 수 있습니다.

정의 빈도주의 방법으로하면은이 콜 모고 로프의 추상적 인 공리를 충족 것을 정의하는 다른 방법이 유일한 가능성 아니다. 베이 즈의 규칙은 이러한``특정 사례 ''에도 적용됩니다. 따라서 확률 이 아닌 비정의적인 정의로 베이지안 분석을 수행 할 수도 있습니다 .$\mathbb{P}$

2016 년 8 월 23 일 수정

귀하의 의견에 대한 @mpiktas의 반응 :

내가 말했듯이, 및 확률 측정 는 공리 시스템에서 특별한 의미가 없으며 추상적입니다. $\Omega, \mathcal{F}$$\mathbb{P}$

이 이론을 적용하려면 추가 정의 를 제공해야합니다 (따라서 "기괴한 정의로 더 이상 혼동 할 필요가 없습니다"라는 의견 이 잘못 되었으므로 추가 정의가 필요합니다 ).

공정한 동전을 던지는 경우에 적용하십시오. Kolmogorov의 이론에서 세트 는 특별한 의미가 없으며 단지``세트 ''여야합니다. 따라서 공정한 동전의 경우이 세트가 무엇인지 지정해야합니다. 즉, 세트 정의해야합니다 . 우리는 H로서 머리와 꼬리 T로서, 다음 세트를 나타내는 경우 인 정의 .Ω Ω Ω d e f = { H , T $\Omega$$\Omega$$\Omega$ $\Omega\stackrel{def}{=}\{H,T\}$

또한 이벤트 를 정의 해야합니다 (예 : -algebra . 우리는 합니다. 가 -algebra 인지 쉽게 확인할 수 있습니다.F F d e f = { ∅ , { H } , { T } , { H , T } } F$\sigma$$\mathcal{F}$$\mathcal{F} \stackrel{def}{=} \{\emptyset, \{H\},\{T\},\{H,T\} \}$$\mathcal{F}$$\sigma$

다음으로 의 모든 이벤트에 대해 측정 값을 정의해야합니다 . 따라서 에서 맵 을 정의 해야합니다 . 공정한 동전을 위해 빈번한 방식으로 정의 할 것입니다. 거의 여러 번 던지면 머리의 비율은 0.5가되므로 . 마찬가지로 , 및 입니다. 그 주 에서지도입니다 의 과는 콜 모고 로프의 공리를 충족있다.F [ 0 , 1 ] P ( { H } ) d e f = 0.5 P ( { T } ) d e f = 0.5 P ( { H , T } ) d e f = 1 P ( ∅ ) d e f = 0 P F [ 0 , 1 $E \in \mathcal{F}$$\mathcal{F}$$[0,1]$$\mathbb{P}(\{H\})\stackrel{def}{=}0.5$$\mathbb{P}(\{T\})\stackrel{def}{=}0.5$$\mathbb{P}(\{H,T\})\stackrel{def}{=}1$$\mathbb{P}(\emptyset)\stackrel{def}{=}0$$\mathbb{P}$$\mathcal{F}$$[0,1]$

확률의 잦은 정의를 참조하려면 이 링크 ( 'definition'섹션의 끝에있는) 와이 링크를 참조하십시오 .

통계는 수학이 아니다

먼저 Stats 의 주석에서 @whuber의 단어를 훔치는 것이 수학이 아닙니까? (다른 맥락에서 적용되므로 인용하지 않고 단어를 훔치고 있습니다) :

"통계"를 "화학", "경제학", "엔지니어링"또는 수학 (예 : 가정 경제학)을 사용하는 다른 분야로 대체하는 경우에는 논란의 여지가없는 것으로 보입니다.

이 모든 분야는 존재할 수 있으며 어떤 이론이 올바른지 확인하는 것만으로는 해결되지 않는 질문을 가질 수 있습니다. 통계 에서 일부 답변 은 수학이 아니지만? 동의하지 않는다, 나는 통계가 (순수한) 수학이 아니라는 것이 분명하다고 생각한다. (순수한) 수학의 한 가지 인 확률 이론을하고 싶다면, 여러분이 요청하는 종류의 모든 논쟁을 무시할 수 있습니다. 실제 문제를 모델링하는 데 확률 이론을 적용하려면 수학 프레임 워크의 공리와 이론보다 더 많은 것을 안내해야합니다. 대답의 나머지 부분은이 시점에서 엉망입니다.

"수학적으로 정확하려면 확률에 대한 해석을 허용해서는 안된다"는 주장도 정당하지 않은 것으로 보인다. 수학적 틀 위에 해석을한다고해서 수학이 틀리지는 않습니다 (해석이 수학 틀에서 정리라고 주장되지 않는 한).

논쟁은 (주로) 공리에 관한 것이 아니다

대안적인 axiomatizations *가 있지만, (?) 토론은 Kolmogorov 공리에 대한 논쟁이 아닙니다. 측정치가 0 인 컨디셔닝 이벤트가있는 미묘한 부분을 무시하고 규칙적인 조건부 확률 등으로 인해 충분히 알지 못하는 경우 Kolmogorov 공리와 조건부 확률은 베이 규칙을 암시합니다. 그러나 가 모형에서 확률 변수 또는 확률 공간 또는 그 계열로 구성된 수학적 설정의 의미, 임의 변수 등이 아닌 경우 조건부 계산은 물론 불가능합니다. 분포 . 주파수 속성이 올바르게 계산된다면 모델의 결과라고 주장하는 사람도 없습니다. 예를 들어 조건부 분포P ( X ∣ Y ) p ( y ∣ θ ) p ( y ; θ ) p ( y ∣ θ ) = p ( y ; θ ) θ $X$$P(X\mid Y)$$p(y\mid \theta)$베이지안 모형에서 하고 일부 결과 가 후자의 모든 에 대해 유지 되도록함으로써 인덱스 확률 분포 패밀리를 정의합니다 그들은 전자의 모든 보유합니다 .$p(y; \theta)$$p(y \mid \theta) = p(y; \theta)$$\theta$$\theta$

토론은 수학을 적용하는 방법에 관한 것입니다

논란은 (실제로 존재하는 **만큼), (실제, 비 수학적) 문제에 대해 어떤 종류의 확률 모델을 설정하고 모델과 어떤 관련이 (실제와 관련이 있는지) 결정하는 방법에 관한 것입니다. -life) 결론. 그러나 이러한 통계는 모든 통계 학자들이 동의 한 경우에도 존재합니다. [1]에 링크 된 블로그 게시물에서 인용하려면 다음과 같은 질문에 답변하고 싶습니다.

카지노에서 $를 벌 수 있도록 룰렛을 어떻게 디자인해야합니까? 이 비료는 작물 수확량을 증가 시킵니까? 스트렙토 마이신은 폐결핵을 치료합니까? 흡연이 암을 유발합니까? 이 사용자는 어떤 영화를 즐기시겠습니까? Red Sox는 어느 야구 선수와 계약을해야합니까? 이 환자는 화학 요법을 받아야합니까?

확률 이론의 공리에는 야구의 정의조차 포함되어 있지 않으므로 "Red Sox는 야구 선수 X와 계약을해야한다"는 확률 이론의 정리가 아니라는 것은 명백하다.

베이지안 접근법의 수학적 타당성에 대한 참고 사항

Jaynes가 언급 한 콕스 정리와 같이 모든 미지수를 확률 론적이라고 생각할 수있는 '수학적 타당성'이 있습니다 (수학적 문제가 있다고 들지만, 수정되었거나 수정되지 않았을 수도 있지만, 모르겠습니다 [2] 및 특정 가정 하에서 합리적 의사 결정자가 국가에 대한 확률 분포를 가질 것이라는 것을 입증하는 (참조적인 베이지안) 야만적 접근 (이것은 [3]에 있지만이 책을 읽은 적이 없다)을 참조) 유틸리티 기능의 예상 값을 최대화하여 작업을 선택하십시오. 그러나 Red Sox 관리자가 가정을 수용해야하는지 여부 또는 흡연이 암을 유발한다는 이론을 수용해야하는지 여부는 수학적 프레임 워크에서 추론 할 수 없습니다.

각주

* 나는 그것을 연구하지는 않았지만, 드 파 네티 (De Finetti)는 조건부 확률이 조건에 의한 (무조건적) 척도에서 얻는 것이 아니라 원시적 인 접근법을 가지고 있다고 들었습니다. [4]는 아늑한 프랑스 식당에서 -additivity가 필요한지에 대한 (Bayesians) José Bernardo, Dennis Lindley, Bruno de Finetti 사이의 논쟁을 언급 합니다.$\sigma$

** [1]에 링크 된 블로그 게시물에서 언급했듯이 한 팀에 속한 모든 통계 학자와 다른 팀을 멸시하는 분명한 논쟁이 없을 수 있습니다. 나는 오늘날 우리 모두 실용 주의자이며 쓸모없는 논쟁은 끝났다고 들었습니다. 그러나 내 경험에 따르면 이러한 차이는 예를 들어 누군가의 첫 번째 접근법이 모든 미지의 변수를 랜덤 변수로 모델링하는지 여부와 누군가가 주파수 보장에 얼마나 관심이 있는지에 있습니다.

참고 문헌

[1] Rafa Irizarry, Roger Peng 및 Jeff Leek의 통계 블로그 인 Simply Statistics는 "데이터 과학자에 대한 베이지안 대 빈번한 토론을 선언합니다", 2014 년 10 월 13 일, http://simplystatistics.org/2014/10 / 13 / 응용 된 통계 학자-내가 빈번한-대-베이지안-논쟁-완전히 중요하지 않은 /

[2] Dupré, MJ 및 FJ (2009). 엄격한 베이지안 확률에 대한 새로운 공리. 베이지안 분석, 4 (3), 599-606. http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ba/1340369856

[3] LJ Savage (1972). 통계의 기초. 택배 회사.

[4] Bernardo, JM 발렌시아 이야기-베이지안 통계에 관한 발렌시아 국제 회의의 기원과 발전에 대한 세부 사항. http://www.uv.es/bernardo/ValenciaStory.pdf

베이지안 대 빈번한 토론의 수학적 기초는 매우 간단합니다. 베이지안 통계에서 알 수없는 매개 변수는 무작위 변수로 취급됩니다. 잦은 통계에서 고정 요소로 취급됩니다. 랜덤 변수는 세트의 단순한 요소보다 훨씬 더 복잡한 수학적 객체이기 때문에 수학적 차이는 분명합니다.

그러나 모델 측면에서 실제 결과는 놀라 울 정도로 유사 할 수 있습니다. 예를 들어 선형 회귀를 생각해보십시오. 정보가없는 선행을 갖는 베이지안 선형 회귀는 회귀 모수 추정치의 분포로 이어지며,이 평균은 빈번한 선형 회귀 모수의 추정치와 동일합니다. . 그럼에도 불구하고 비슷한 해결책에 도달하는 데 사용 된 수학은 위에서 언급 한 이유로 상당히 다릅니다.

알 수없는 매개 변수 수학적 속성 (임의 변수 대 세트의 요소)의 치료 차이 때문에 베이지안 및 잦은 통계는 경쟁 접근법을 사용하는 것이 더 유리한 경우에 발생합니다. 신뢰 구간이 대표적인 예입니다. 간단한 견적을 얻기 위해 MCMC에 의존하지 않아도됩니다. 그러나 이것들은 보통 수학의 문제가 아니라 맛의 문제입니다.

나는 철학을 좋아하지 않지만 수학을 좋아하며 Kolmogorov의 공리 체계 안에서 독점적으로 일하고 싶습니다.

Kolmogorov의 공리를 해석없이 정확히 어떻게 적용 하시겠습니까? 어떻게 것입니다 당신은 확률을 해석? "확률 추정치 는 무엇을 의미합니까?"$0.5$ 라고 물은 사람에게 무엇을 말 하시겠습니까? 결과가 숫자 라고 말 하시겠습니까?$0.5$공리를 따르기 때문에 어떤 것이 맞습니까? 해석이 없으면 실험을 반복 할 때 결과가 얼마나 자주 나타날지 알 수 있다고 말할 수 없었습니다. 또한이 숫자는 사건이 발생할 가능성에 대해 얼마나 확실한지 알려줄 수 없습니다. 또한 이것이 당신이 그 사건을 얼마나 믿게 될 것인지를 말해 준다고 대답 할 수 없습니다. 일부 수치에는 다른 수치가 곱해지고 공리와 일부 다른 정리를 따르기 때문에 유효한 합계가 합쳐 짐에 따라 예상 값을 어떻게 해석 하시겠습니까?

수학을 실제 세계에 적용하려면 해석해야합니다. 해석이없는 숫자는 ... 숫자입니다. 사람들은 예상 값을 계산하기 위해 예상 값을 계산하지 않고 현실에 대해 배우고 있습니다.

또한 확률은 추상적이며 통계 (및 확률 그 자체)를 실제 상황에 적용합니다. 가장 기본적인 예를 보자 : 공정한 동전. 빈번한 해석에서 그러한 동전을 여러 번 던지면 같은 수의 머리와 꼬리를 기대할 수 있습니다. 그러나 실제 실험에서는 거의 발생하지 않습니다. 따라서 확률은 특정 횟수만큼 던진 특정 동전과 관련이 없습니다.$0.5$

존재하지 않는 확률

-브루노 데 파인 티

베이지안과 잦은 추론의 대조에 대한 나의 견해는 첫 번째 문제는 확률을 원하는 사건의 선택이라는 것입니다. 상용 주의자들은 당신이 증명하려고하는 것을 가정하고 (예를 들어, 귀무 가설) 그 가정 하에서 이미 관찰 한 것을 관찰 할 확률을 계산합니다. 이러한 역 정보 흐름 순서 확률과 의료 진단의 민감도 및 특이성 간에는 정확히 유사한 비유가 있으며, 이로 인해 엄청난 오해가 발생했으며, Bayes의 규칙에 의해 가능성을 제시하여 확률을 제시해야합니다 ( "사후 테스트 확률"). 베이지안은 사건의 확률을 계산하며 절대 확률은 기준점없이 계산할 수 없습니다 (이전). 성명서의 정확성에 대한 베이지안 확률은 알 수없는 특정 가정 하에서 데이터를 관측하는 잦은 확률과는 매우 다릅니다. 잦은 주의자가 수행했거나 수행 할 수있는 다른 분석 (다중성, 순차 테스트 등)에 대해 조정해야 할 때 차이가 더 두드러집니다.

수학적 기초에 대한 토론은 매우 흥미롭고 매우 적절한 토론입니다. 그러나 전진과 후진 확률을 근본적으로 선택해야합니다. 따라서 정확히 수학적이지 않은 조건은 엄청나게 중요합니다. 베이지안은 당신이 이미 알고있는 것에 대한 완전한 조절이 핵심이라고 믿습니다. 빈번한 사람들은 수학을 단순하게 만드는 것에 더 자주 의존합니다.

나는 이것을 두 가지 질문으로 나누고 각각에 답할 것입니다.

1.) Frequentist와 Bayesian 관점에서 확률이 무엇을 의미하는지에 대한 다른 철학적 견해를 감안할 때, 한 해석에 적용되고 다른 해석에 적용되지 않는 수학적 확률 규칙이 있습니까?

아니요. 확률 규칙은 두 그룹간에 정확히 동일하게 유지됩니다.

2.) Bayesians와 Frequentists는 동일한 수학적 모델을 사용하여 데이터를 분석합니까?

일반적으로 말해서 이것은 두 가지 다른 해석이 연구원이 다른 출처에서 통찰력을 얻을 수 있다고 제안하기 때문입니다. 특히, Frequentist 프레임 워크는 종종 관찰 된 데이터만으로 관심 매개 변수를 추론 할 수 있다고 제안하는 반면, 베이지안 관점에서는 주제에 대한 독립적 인 전문 지식도 포함해야한다고 제안합니다. 다른 데이터 소스는 다른 수학적 모델이 분석에 사용될 것임을 의미합니다.

그것은 무엇보다 관련있는 두 진영에서 사용하는 모델 사이에 많은 분열이 있다는 것을 참고도 있습니다 무엇보다 완료 할 수는수행해야합니다 (즉, 한 캠프에서 전통적으로 사용 된 많은 모델을 다른 캠프에서 정당화 할 수 있음). 예를 들어, BUGs 모델 (여러 가지 이유로 더 이상 모델 세트를 더 이상 정확하게 설명하지 않는 이름 인 깁스 샘플링을 사용하는 Bayesian 추론)은 전통적으로 Bayesian 방법으로 분석됩니다. 주로 JAG를 사용하여 훌륭한 소프트웨어 패키지를 사용할 수 있기 때문입니다. 예를 들어 스탠). 그러나 이러한 모델이 반드시 베이지안이어야한다는 말은 없습니다. 실제로, BUGs 프레임 워크에서 이러한 모델을 빌드하는 NIMBLE 프로젝트에서 작업했지만 사용자가 모델을 추론하는 방법에 대해 훨씬 더 많은 자유를 허용합니다. 우리가 제공 한 대부분의 도구는 사용자 정의 가능한 베이지안 MCMC 방법 이었지만, 이러한 모델에도 전통적 상용 방법 인 최대 가능성 추정을 사용할 수도 있습니다. 비슷하게, 사전은 종종 Frequentist 모델로는 할 수없는 베이지안으로 할 수있는 것으로 생각됩니다. 그러나 벌칙 화 된 추정은 정규화 매개 변수 추정을 사용하여 동일한 모델을 제공 할 수 있습니다 (베이지안 프레임 워크는 정규화 매개 변수를보다 쉽게 ​​정당화하고 선택할 수있는 방법을 제공하지만, Frequentists는 많은 데이터에 대한 최상의 시나리오를 남겼습니다. 이러한 정규화 매개 변수는 다수의 교차 검증 된 샘플에 대해 "더 나은지 또는 더 나쁜지에 대한 샘플 오류 추정치"를 낮추었습니다.

베이지안과 빈번한 확률은 확률이 다른 것을 나타낸다고 생각합니다. 자주 사용하는 사람들은 주파수와 관련이 있으며 주파수가 가능한 상황에서만 의미가 있다고 생각합니다. 베이지안은 그것들을 불확실성을 나타내는 방법으로 본다. 모든 사실이 불확실 할 수 있으므로 모든 가능성에 대해 이야기 할 수 있습니다.

수학적 결과는 상용 주의자들이 기본 확률 방정식이 가끔 적용되는 것으로 생각하고 베이지안은 항상 적용한다고 생각한다는 것입니다. 따라서 그들은 동일한 방정식을 올바른 것으로 간주하지만 얼마나 일반적인 지에 따라 다릅니다.

이는 다음과 같은 실질적인 결과를 초래합니다.

(1) 베이지안은 확률 이론의 기본 방정식 (베이 즈 정리가 하나의 예일뿐)에서 자신의 방법을 도출하는 반면, 빈번한 이론은 각 문제를 해결하기 위해 하나씩 직관적 인 임시 접근 방식을 고안합니다.

(2) 불완전한 정보로 추론 할 경우 확률 이론의 기본 방정식을 일관되게 더 잘 사용했거나 문제가있을 수 있다는 이론이 있습니다. 많은 사람들이 그러한 이론이 얼마나 의미가 있는지에 대해 의문을 가지고 있지만 실제로 이것이 우리가 보는 것입니다.

예를 들어 실제 무고한 95 % 신뢰 구간은 완전히 불가능한 값으로 구성 될 수 있습니다 (신뢰 구간을 도출하는 데 사용 된 것과 동일한 정보에서). 다시 말해, Frequentist 방법은 간단한 연역적 논리와 모순 될 수 있습니다. 확률 이론의 기본 방정식에서 완전히 파생 된 베이지안 방법에는이 문제가 없습니다.

(3) 베이지안은 Frequentist보다 엄격하다. 어떤 사실에 대해서도 불확실성이있을 수 있으므로, 어떤 사실에도 확률이 할당 될 수 있습니다. 특히, 작업중인 사실이 실제 빈도 (예측중인 데이터 또는 데이터의 일부)와 관련이있는 경우 베이지안 방법은 다른 실제 사실과 마찬가지로이를 고려하여 사용할 수 있습니다.

결과적으로 모든 문제 Frequentist는 그들의 방법이 베이지안에도 적용된다고 생각합니다. 그러나 빈번한 주의자들이 확률을 "빈도"로 해석하기 위해 서브 우주를 발명하지 않는 한, 그 반대의 경우는 사실이 아닙니다. .

질문 : 수학적으로 정확하려면 확률에 대한 해석을 허용해서는 안됩니까? 즉, 베이지안과 잦은 수학적 모두 수학적으로 부정확합니까?

그렇습니다. 이것은 사람들이 과학 철학과 수학에서 정확히하는 일입니다.

1. 철학적 접근. Wikipedia는 확률에 대한 해석 / 정의에 대한 개요를 제공합니다 .

2. 수학자들은 안전하지 않습니다. 과거에 Kolmogorovian 학교는 확률의 독점을 가졌습니다. 확률은 전체 공간에 1을 할당하는 유한 척도로 정의됩니다 ...이 패권은 양자 확률 과 같은 정의 확률에 대한 새로운 경향이 있기 때문에 더 이상 유효하지 않습니다. 자유 확률 .

베이 즈 / 자주적 토론은 수많은 근거를 기반으로합니다. 당신이 수학적 기초에 대해 이야기하고 있다면, 나는 많은 것이 없다고 생각합니다.

복잡한 문제에 대해 다양한 근사 방법을 적용해야합니다. 두 가지 예는 빈번한 "부트 스트랩"과 베이지안의 "mcmc"입니다.

그들은 둘 다 그들을 사용하는 방법에 대한 의식 / 절차와 함께 제공됩니다. 빈번한 예는 "반복 샘플링 하에서 추정값을 제안하고 그 특성을 평가하는 것"이고 베이지안 예는 "알고있는 조건에 대해 모르는 것에 대한 확률 분포를 계산하는 것"입니다. 이런 식으로 확률을 사용하기위한 수학적 기초는 없습니다.

토론은 적용, 해석 및 실제 문제를 해결하는 능력에 대한 것입니다.

사실, 이것은 종종 "그들의 편"에 대해 토론하는 사람들이 사용하는데, 여기서 "다른 편"이 사용하는 특정 "의식 / 절차"를 사용하여 전체 이론을 자신의 이론으로 버려야한다고 주장합니다. 몇 가지 예는 다음과 같습니다.

• 바보 같은 사전을 사용하고 (확인하지 않음)
• 바보 CI 사용 (확인하지 않음)
• 계산 기술을 이론과 혼동하기
• 하나의 이론으로 특정 응용 프로그램의 문제에 대해 이야기하고 다른 이론이 어떻게 더 나은 문제를 해결할지

그렇다면 수학적으로 정확한 통계의 유일한 버전은 베이지안과 잦은주의와 관련하여 완전히 무시할 수있는 것이 아니라는 것입니다. 두 분류가 모두있는 방법이 수학적으로 정확하다면, 다른 방법보다 선호하는 것이 부적절하지 않습니까? 정확하고 잘 정의 된 수학보다 모호하고 잘못 정의 된 철학을 우선시하기 때문입니다.

아니요. 따르지 않습니다. 감정을 느끼지 못하는 개인은 생물학적으로 의사 결정을 할 수 없으며, 단 하나의 객관적인 해결책 만있는 것으로 보이는 결정을 포함합니다. 합리적인 의사 결정은 우리의 정서적 능력과인지 적, 정서적 선호에 달려 있기 때문입니다. 그것이 무서운 반면, 그것은 경험적인 현실입니다.

Gupta R, Koscik TR, Bechara A, Tranel D. 편도 및 의사 결정. 신경 정신병자. 2011; 49 (4) : 760-766. doi : 10.1016 / j.neuropsychologia.2010.09.029.

사과를 오렌지보다 선호하는 사람은 선호하기 때문에 이것을 방어 할 수 없습니다. 반대로, 오렌지를 사과보다 선호하는 사람은 선호하기 때문에 이것을 합리적으로 방어 할 수 없습니다. 사과를 좋아하는 사람들은 종종 사과를 먹는 데 비해 오렌지를 먹기 때문에 오렌지를 먹습니다.

베이지안과 빈번한 논쟁의 대부분과 우도 론과 빈번한 논쟁은 이해의 실수를 중심으로 이루어졌습니다. 그럼에도 불구하고, Carnapian 확률 또는 기준 통계와 같이 사소하거나 더 이상 사용되지 않는 방법을 포함하여 모든 방법에 대해 잘 훈련 된 사람이 있다고 생각하면 다른 도구보다 일부 도구를 선호하는 것이 합리적입니다.

합리성은 단지 선호에 의존한다; 행동은 선호와 비용에 달려 있습니다.

순전히 수학적인 관점에서 볼 때 하나의 도구가 다른 도구보다 낫고 일부 비용 또는 유틸리티 기능을 사용하여 더 잘 정의되는 경우가 있지만 하나의 도구 만 작동 할 수있는 고유 한 대답이 없다면 비용과 환경 설정의 무게가 측정됩니다.

복잡한 내기를 제공하는 것을 고려한 서적의 문제를 고려하십시오. 분명히,이 책은 코 히어가 일관성 있고 다른 좋은 속성을 가지기 때문에이 경우에 베이지안 방법을 사용해야하지만, 책자는 연필과 종이조차도없고 계산기 만 가지고 있다고 상상해보십시오. 계산기를 사용하고 머리에 물건을 기록하여 책자가 자주 발생하는 솔루션을 계산할 수 있고 지구에서 베이지안을 계산할 기회가없는 경우가있을 수 있습니다. 그가 "네덜란드어 예약"의 위험을 감수하고 잠재적 비용이 충분히 작은 경우 Frequentist 방법을 사용하여 베팅을 제공하는 것이 합리적입니다.

그것은이다 합리적 위해 당신이 할 불가지론 감정적 선호가 당신을 위해 더 좋을 찾을 수 있기 때문이다. 모든 사람들이 당신의 정서적,인지 적 선호를 공유한다고 믿지 않는 한, 해당 분야가 불가지론적인 것은 합리적이지 않습니다.

요컨대, 베이지안 대 빈번한 토론에 대한 수학적 근거가 무엇인지 이해하지 못하며 토론에 대한 수학적 근거가 없다면 (Wikipedia가 주장하는 것), 왜 그것이 왜 허용되는지 이해하지 못합니다. 학술 담론.

학계 토론의 목적은 오래된 아이디어와 새로운 아이디어를 모두 밝히는 것입니다. 베이지안 대 Frequentist 토론과 Likelihoodist 대 Frequentist 토론의 많은 부분은 오해와 사고의 부패에서 ​​비롯되었습니다. 어떤 사람들은 그들이 무엇에 대한 선호도를 부르지 않아서왔다. 편견이없고 시끄러운 대 견적자가 편향되고 정확하다는 미덕에 대한 토론은 정서적 선호에 대한 토론이지만, 누군가가 갖기 전까지는 그 생각이 전 분야에 걸쳐 흐릿해질 것입니다.

나는 철학을 좋아하지 않지만 수학을 좋아하며 Kolmogorov의 공리 체계 안에서 독점적으로 일하고 싶습니다.

왜? Kolmogorov를 콕스, 드 파인 티 또는 새비지보다 선호하기 때문에? 그 취향이 몰래 들어가나요? 또한 확률과 통계는 수학이 아니라 수학을 사용합니다. 수사학의 한 가지입니다. 이것이 왜 중요한지 이해하려면 진술을 고려하십시오.

방법이 수학적으로 올바른 경우 기본 수학의 가정이 유지 될 때 방법을 사용하는 것이 유효합니다. 그렇지 않으면 수학적으로 올바르지 않거나 가정이 유지되지 않는 경우이 방법을 사용할 수 없습니다.

사실이 아닙니다. 신뢰 구간에 대한 좋은 기사가 있으며 그 학대의 인용은 다음과 같습니다.

모리, 리차드; Hoekstra, 링크; Rouder, Jeffrey; 이, 마이클; Wagenmakers, Eric-Jan, 신뢰 구간에 신뢰를 두는 오류, Psychonomic Bulletin & Review, 2016, Vol.23 (1), pp.103-123

기사에서 서로 다른 잠재적 신뢰 구간을 읽으면 각각 수학적으로 유효하지만 속성을 평가하면 매우 실질적으로 다릅니다. 실제로, 제공된 신뢰 구간 중 일부는 문제의 모든 가정을 충족하지만 "나쁜"속성을 가진 것으로 생각할 수 있습니다. 목록에서 베이지안 간격을 삭제하고 4 개의 빈번 간격에 대해서만 초점을 맞추면 간격이 넓거나 좁거나 일정 할 때에 대해 더 심층적 인 분석을 수행하면 간격이 "같지 않을 수 있습니다. "각각은 가정과 요구 사항을 충족합니다.

유용하거나 가능한 한 유용하게 수학적으로 유효하기에는 충분하지 않습니다. 마찬가지로 수학적으로 사실이지만 해로울 수 있습니다. 이 기사에는 매개 변수의 위치에 대한 완벽한 지식 또는 거의 완벽한 지식이 존재할 때 실제 위치에 대한 정보가 가장 적을 때 가장 넓고 간격이 가장 좁습니다. 어쨌든 적용 범위 요구 사항을 충족하고 가정을 충족시킵니다.

수학으로는 충분하지 않습니다.