선형 혼합 효과 모델링의 특별한 경우로서의 쌍 대차 t- 검정

쌍을 이루는 t- 검정 은 단방향 반복 측정 (또는 개체 내) 분산 분석과 선형 혼합 효과 모델의 특별한 경우이며 lme () 함수를 사용하여 R의 nlme 패키지 아래 그림과 같이.

#response data from 10 subjects under two conditions
x1<-rnorm(10)
x2<-1+rnorm(10)

# Now create a dataframe for lme
myDat <- data.frame(c(x1,x2), c(rep("x1", 10), rep("x2", 10)), rep(paste("S", seq(1,10), sep=""), 2))
names(myDat) <- c("y", "x", "subj")

다음 쌍의 t- 검정을 실행할 때 :

t.test(x1, x2, paired = TRUE)

이 결과를 얻었습니다 (임의의 생성기로 인해 다른 결과가 나타납니다).

t = -2.3056, df = 9, p-value = 0.04657

분산 분석법을 사용하면 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

summary(aov(y ~ x + Error(subj/x), myDat))

# the F-value below is just the square of the t-value from paired t-test:
          Df  F value Pr(>F)
x          1  5.3158  0.04657

이제 두 조건에 대해 양의 명확한 대칭 상관 행렬을 가정하여 다음 모델에서 lme에서 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

summary(fm1 <- lme(y ~ x, random=list(subj=pdSymm(form=~x-1)), data=myDat))

# the 2nd row in the following agrees with the paired t-test
# (Intercept) -0.2488202 0.3142115  9 -0.7918878  0.4488
# xx2          1.3325786 0.5779727  9  2.3056084  0.0466

또는 두 조건의 상관 행렬에 대한 복합 대칭을 가정 할 때 다른 모델 :

summary(fm2 <- lme(y ~ x, random=list(subj=pdCompSymm(form=~x-1)), data=myDat))

# the 2nd row in the following agrees with the paired t-test
# (Intercept) -0.2488202 0.4023431  9 -0.618428  0.5516
# xx2          1.3325786 0.5779727  9  2.305608  0.0466

쌍으로 된 t- 검정과 일방향 반복 측정 ANOVA를 사용하여 기존 셀 평균 모델을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

Yij = μ + αi + βj + εij, i = 1, 2; j = 1, ..., 10

여기서 i 인덱스 조건, j 인덱스 대상, Y _ij 는 반응 변수, μ는 전체 평균에 대한 고정 효과에 대해 상수, α _i 는 조건에 대한 고정 효과, β _j 는 N (0, σ에 따른 대상에 대한 랜덤 효과 임) _p ² ) (σ _p ² 는 모집단 분산)이고, ε _ij 는 N (0, σ ² ) 다음에 잔차입니다 (σ ² 는 개체 내 분산).

위의 셀 평균 모델이 lme 모델에는 적합하지 않다고 생각했지만 문제는 상관 관계 구조 가정을 사용하는 두 개의 lme () 접근법에 대한 합리적인 모델을 제시 할 수 없다는 것입니다. 그 이유는 lme 모델이 위의 셀 평균 모델보다 랜덤 구성 요소에 더 많은 매개 변수를 가지고있는 것 같습니다. 적어도 lme 모델은 gl이 할 수없는 것과 정확히 동일한 F- 값, 자유도 및 p- 값을 제공합니다. 보다 구체적으로, gls는 각 대상체에 2 개의 관찰이 있다는 사실을 설명하지 않기 때문에 부정확 한 DF를 제공하므로, DF가 많이 부풀려진다. lme 모델은 임의 효과를 지정하는 데 과도하게 매개 변수화되어 있지만 모델이 무엇이며 매개 변수가 무엇인지 모르겠습니다. 따라서 문제는 여전히 해결되지 않았습니다.

모형의 동등성은 다음과 같이 동일한 개인의 두 관측치 간의 상관 관계를 계산하여 관찰 할 수 있습니다.

$Y_{ij} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij}$$\beta_j \sim N(0, \sigma_p^2)$$\epsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)$$Cov(y_{ik}, y_{jk}) = Cov(\mu + \alpha_i + \beta_k + \epsilon_{ik}, \mu + \alpha_j + \beta_k + \epsilon_{jk}) = Cov(\beta_k, \beta_k) = \sigma_p^2$$Var(y_{ik}) = Var(y_{jk}) = \sigma_p^2 + \sigma^2$$\sigma_p^2/(\sigma_p^2 + \sigma^2)$

그러나 랜덤 효과 모델이 상관 관계를 강제로 강제하기 때문에 모델이 완전히 동일하지는 않습니다. CS 모델과 t-test / anova 모델은 그렇지 않습니다.

편집 : 다른 두 가지 차이점도 있습니다. 먼저, CS 및 랜덤 효과 모델은 랜덤 효과에 대한 정규성을 가정하지만 t- 검정 / 노바 모델은 그렇지 않습니다. 두 번째로, CS 및 랜덤 효과 모델은 최대 가능성을 사용하여 적합하고, anova는 평균 제곱을 사용하여 적합합니다. 모든 것이 균형을 잡으면 그들은 동의 할 것이지만, 더 복잡한 상황에서는 반드시 그런 것은 아닙니다. 마지막으로, 나는 모델이 얼마나 동의하는지에 대한 척도로 다양한 적합치의 F / df / p 값을 사용하는 것에주의 할 것이다. 자세한 내용은 Doug Bates의 df에 대한 유명한 스크 리드를 참조하십시오. (편집 종료)

R코드 의 문제 는 상관 관계 구조를 올바르게 지정하지 않았다는 것입니다. 상관 관계 구조 gls와 함께 사용해야 합니다 corCompSymm.

주제 효과가 있도록 데이터를 생성하십시오.

set.seed(5)
x <- rnorm(10)
x1<-x+rnorm(10)
x2<-x+1 + rnorm(10)
myDat <- data.frame(c(x1,x2), c(rep("x1", 10), rep("x2", 10)), 
                    rep(paste("S", seq(1,10), sep=""), 2))
names(myDat) <- c("y", "x", "subj")

다음은 랜덤 효과와 복합 대칭 모델에 어떻게 적합한 지 보여줍니다.

library(nlme)
fm1 <- lme(y ~ x, random=~1|subj, data=myDat)
fm2 <- gls(y ~ x, correlation=corCompSymm(form=~1|subj), data=myDat)

랜덤 효과 모델의 표준 오류는 다음과 같습니다.

m1.varp <- 0.5453527^2
m1.vare <- 1.084408^2

CS 모델의 상관 및 잔차 분산은 다음과 같습니다.

m2.rho <- 0.2018595
m2.var <- 1.213816^2

그리고 그들은 기대되는 것과 같습니다.

> m1.varp/(m1.varp+m1.vare)
[1] 0.2018594
> sqrt(m1.varp + m1.vare)
[1] 1.213816

다른 상관 관계 구조는 일반적으로 임의 효과에 적합하지 않고 단순히 원하는 구조를 지정하여 적용됩니다. 한 가지 일반적인 예외는 AR (1) + 랜덤 효과 모델이며, 이는 동일한 랜덤 효과에 대한 관측치간에 랜덤 효과와 AR (1) 상관 관계가 있습니다.

EDIT2 : 세 가지 옵션에 적합하면 gls가 관심있는 용어에 대한 df를 추측하지 않는다는 점을 제외하고는 정확히 동일한 결과를 얻습니다.

> summary(fm1)
...
Fixed effects: y ~ x 
                 Value Std.Error DF   t-value p-value
(Intercept) -0.5611156 0.3838423  9 -1.461839  0.1778
xx2          2.0772757 0.4849618  9  4.283380  0.0020

> summary(fm2)
...
                 Value Std.Error   t-value p-value
(Intercept) -0.5611156 0.3838423 -1.461839  0.1610
xx2          2.0772757 0.4849618  4.283380  0.0004

> m1 <- lm(y~ x + subj, data=myDat)
> summary(m1)
...
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
(Intercept)  -0.3154     0.8042  -0.392  0.70403   
xx2           2.0773     0.4850   4.283  0.00204 **

(차단은 기본 코딩으로 모든 주제의 평균이 아니라 첫 번째 주제의 평균이기 때문에 여기에서 다릅니다.)

최신 lme4패키지는 동일한 결과를 제공하지만 p- 값을 계산하지도 않습니다.

> mm1 <- lmer(y ~ x + (1|subj), data=myDat)
> summary(mm1)
...
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  -0.5611     0.3838  -1.462
xx2           2.0773     0.4850   4.283

mixed패키지 afex에서 함수 를 사용하여 Kenward-Roger df 근사값으로 p 값을 반환하는 것을 고려할 수도 있습니다 .

library(afex)
mixed(y ~ x + (1|subj), type=3,method="KR",data=myDat) 

또는

library(lmerTest)
options(contrasts=c('contr.sum', 'contr.poly'))
anova(lmer(y ~ x + (1|subj),data=myDat),ddf="Kenward-Roger")