반 코시 분포의 특성은 무엇입니까?

현재 상태 공간 모델을위한 Markov chain Monte Carlo (MCMC) 알고리즘 을 개발해야하는 문제를 해결하고 있습니다.

문제를 해결할 수 있도록 다음과 같은 확률 : p ( τ ) = 2I ( τ > 0) / (1+ τ 2 )를 받았습니다 . τ 는 x 의 표준 편차입니다 .$\tau$$\tau$$\tau$$\tau^2$$\tau$$x$

그래서 나는 그것이 코카콜라 반 배포판이라는 것을 알고 있습니다. 왜냐하면 나는 예제를 보았을 때 그것을 알았고 그렇게 들었 기 때문입니다. 그러나 왜 "Half-Cauchy"배포판인지, 어떤 속성이 포함되어 있는지 완전히 이해하지 못했습니다.

속성면에서 내가 원하는 것을 확실하지 않습니다. 나는 이런 유형의 계량 론에 상당히 익숙하다. 따라서 분배 및 상태 공간 모델 컨텍스트에서 사용하는 방법을 이해하는 것이 더 좋습니다. 모델 자체는 다음과 같습니다.

$$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$$

편집 : 나는 p ( τ )에 를 포함 시켰습니다 . 이것을 지적 해 주셔서 감사합니다.$\pi$$\tau$

Half-Cauchy는 Cauchy 분포의 대칭 절반 중 하나입니다 (지정하지 않은 경우 의도 한 오른쪽 절반).

코시의 오른쪽 절반의 면적이 이기 때문에$\frac12$$\frac{1}{\pi}$

Half-Cauchy에는 많은 속성이 있습니다. 일부는 이전에 원하는 유용한 속성입니다.

스케일 파라미터에서 이전에 일반적으로 선택되는 것은 역 감마입니다. 약한 정보 이전이 필요한 경우 매우 작은 매개 변수 값이 사용됩니다.

하프 코시는 꼬리가 무겁고 일부 상황에서는 상당히 약한 정보로 간주 될 수 있습니다. Gelman ([1])은 역 감마보다 반 t 이전 (반-코시 포함)을 옹호합니다. 왜냐하면 그들은 작은 매개 변수 값에 대해 더 나은 거동을 갖지만 대규모 매개 변수가 사용될 때 이를 유익한 정보로 간주하기 때문 입니다 *. Gelman은 최근 몇 년 동안 Half-Cauchy에 더 집중했습니다. Polson과 Scott의 논문 [2]은 특히 Half-Cauchy를 선택해야하는 추가적인 이유를 제공합니다.

* 귀하의 게시물은 표준 반 코시를 보여줍니다. Gelman은 아마도 이전에는 그것을 선택하지 않았을 것입니다. 모든 스케일에 대해 이해가 안된다면, 스케일이 1보다 아래 1보다 높을 가능성이 있지만 (Gelman이 주장하는 것 중 일부에는 맞지 않을 것입니다) 에 대한.

A. Gelman (2006),
"계층 적 모델에서 분산 모수에 대한 이전 분포"
Bayesian Analysis , Vol. 1, N. 3, 515–533 쪽
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] NG Polson과 JG Scott (2012),
"글로벌 스케일 파라미터에 대한 반-코치 우선"
Bayesian Analysis , Vol. 7, No. 4, 887-902 페이지
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466