가우스 비율 분포 : 미분 계수

나는 두 개의 독립적 인 정규 분포 $X$ 와 작업하고 있는데 $Y$, 평균 $\mu_x$ 및 $\mu_y$ 및 분산 $\sigma^2_x$ 및 $\sigma^2_y$ 입니다.

나는 그들의 비율 의 분포에 관심이 $Z=X/Y$있습니다. 나도 $X$ 나 $Y$ , 그래서 0의 평균이 없습니다 $Z$ 코시로 배포되지 않습니다.

의 CDF를 찾은 다음 μ x , μ y , σ 2 x 및 σ 2 y에 대해 CDF의 미분을 취해야합니다 .$Z$$\mu_x$$\mu_y$$\sigma^2_x$$\sigma^2_y$

아무도 이미 계산 된 논문을 알고 있습니까? 아니면 어떻게해야합니까?

나는 1969 년 논문 에서 CDF의 공식을 찾았 지만 이러한 파생물을 복용하는 것은 분명히 큰 고통이 될 것입니다. 누군가 이미 이미했거나 쉽게 수행하는 방법을 알고 있습니까? 나는 주로 이러한 파생 상품의 징후를 알아야합니다.

이 논문은 또한 가 대부분 양수인 경우 분석적으로 더 간단한 근사치를 포함합니다 . 나는 그 제한을 가질 수 없습니다. 그러나 근사치가 모수 범위를 벗어난 경우에도 실제 미분과 동일한 부호를 가질 수 있습니까?$Y$

관련 논문 :

위키 :` http : //en.wikipedia.org/wiki/Ratio_distribution

1. http://www.jstatsoft.org/v16/i04/

2. http://link.springer.com/article/10.1007/s00362-012-0429-2

3. http://mrvar.fdv.uni-lj.si/pub/mz/mz1.1/cedilnik.pdf

라이센스가있는 경우 Mathematica와 같은 기호 수학 패키지를 사용하고 그렇지 않은 경우 Sage를 사용하십시오.

수치 작업을하는 경우 수치 차별화도 고려할 수 있습니다.

지루하지만, 똑바로 보인다. 즉, 관련된 모든 함수는 미분을 쉽게 계산할 수 있습니다. 수식을 올바르게 작성했는지 확인하기 위해 수치 미분을 사용하여 결과를 테스트 할 수 있습니다.

이것은 수치 적으로 매우 쉽고 오류가 적은 종류의 문제입니다. 부호 만 필요하다고 말했기 때문에 정확한 수치 근사치가 필요 이상으로 충분하다고 가정합니다. 다음은에 대한 도함수 예제가있는 코드입니다.$\mu_x$:

pratio <- function(z, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    sd_x <- sqrt(var_x)
    sd_y <- sqrt(var_y)

    a <- function(z) {
        sqrt(z*z/var_x+1/var_y)
    }

    b <- function(z) {
        mu_x*z/var_x + mu_y/var_y
    }

    c <- mu_x^2/var_x + mu_y^2/var_y

    d <- function(z) {
        exp((b(z)^2 - c*a(z)^2)/(2*a(z)^2))
    }


    t1 <- (b(z)*d(z)/a(z)^3)
    t2 <- 1.0/(sqrt(2*pi)*sd_x*sd_y)
    t3 <- pnorm(b(z)/a(z)) - pnorm(-b(z)/a(z))
    t4 <- 1.0/(a(z)^2*pi*sd_x*sd_y)
    t5 <- exp(-c/2.0)
    return(t1*t2*t3 + t4*t5)
}

# Integrates to 1, so probably no typos.
print(integrate(pratio, lower=-Inf, upper=Inf))

cdf_ratio <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    integrate(function(x) {pratio(x, mu_x, mu_y, var_x, var_y)}, 
        lower=-Inf, upper=x, abs.tol=.Machine$double.eps)$value
} 

# Numerical differentiation here is very easy:
derv_mu_x <- function(x, mu_x=1.0, mu_y=1.0,var_x=0.2, var_y=0.2) {
    eps <- sqrt(.Machine$double.eps)
    left <- cdf_ratio(x, mu_x+eps, mu_y, var_x, var_y)
    right <- cdf_ratio(x, mu_x-eps, mu_y, var_x, var_y)
    return((left - right)/(2*eps))
}