UMVUE

하자 농도에서 무작위로 일$(X_1,X_2,\ldots,X_n)$

$$f_{\theta}(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbf1_{0<x<1}\quad,\,\theta>0$$

의 UMVUE를 찾으려고합니다 .$\frac{\theta}{1+\theta}$

의 관절 밀도 는$(X_1,\ldots,X_n)$

$$\begin{align} f_{\theta}(x_1,\cdots,x_n)&=\theta^n\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}\mathbf1_{0<x_1,\ldots,x_n<1} \\&=\exp\left[(\theta-1)\sum_{i=1}^n\ln x_i+n\ln\theta+\ln (\mathbf1_{0<x_1,\ldots,x_n<1})\right],\,\theta>0 \end{align}$$

모집단 pdf 는 1 모수 지수 군에 속하므로 이는 대한 전체 통계량 이 임을 나타냅니다.$f_{\theta}$$\theta$

$$T(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln X_i$$

이후 먼저 생각에서, 의 나에게 줄 것 UMVUE 로 레만-쉐프 정리. 이 조건부 기대치를 직접 찾을 수 있는지 또는 조건부 분포 를 찾아야하는지 확실하지 않습니다 .$E(X_1)=\frac{\theta}{1+\theta}$$E(X_1\mid T)$$\frac{\theta}{1+\theta}$$X_1\mid \sum_{i=1}^n\ln X_i$

반면에 나는 다음과 같은 접근법을 고려했다.

우리는이 이므로 입니다.$X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\text{Beta}(\theta,1)\implies -2\theta\ln X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\chi^2_2$$-2\theta\, T\sim\chi^2_{2n}$

그래서 의 제 위해서는 원료 순간 카이 제곱 PDF를 사용하여 계산 제로 관한 것은$r$$-2\theta\,T$

$$E(-2\theta\,T)^r=2^r\frac{\Gamma\left(n+r\right)}{\Gamma\left(n\right)}\qquad ,\,n+r>0$$

따라서 다른 정수 선택에 대해 의 다른 정수 제곱의 바이어스되지 않은 추정기 (및 UMVUE)를 얻는 것처럼 보입니다 . 예를 들어, 및 직접 및 의 UMVUE를 제공하십시오 .$r$$\theta$$E\left(-\frac{T}{n}\right)=\frac{1}{\theta}$$E\left(\frac{1-n}{T}\right)=\theta$$\frac{1}{\theta}$$\theta$

이제 우리가 .$\theta>1$$\frac{\theta}{1+\theta}=\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^{-1}=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$

UMVUE의 등을 확실히 얻을 수 있습니다 . 따라서 이러한 UMVUE를 결합하면 의 필요한 UMVUE를 얻을 수 있습니다 . 이 방법이 유효합니까 아니면 첫 번째 방법으로 진행해야합니까? UMVUE는 존재할 때 고유하기 때문에 둘 다 동일한 대답을 제공해야합니다.$\frac{1}{\theta},\frac{1}{\theta^2},\frac{1}{\theta^3}$$\frac{\theta}{1+\theta}$

분명히

$$E\left(1+\frac{T}{n}+\frac{T^2}{n(n+1)}+\frac{T^3}{n(n+1)(n+2)}+\cdots\right)=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$$

즉,

$$E\left(\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}\right)=\frac{\theta}{1+\theta}$$

때 필요한 UMVUE가 일 수 ?$\displaystyle\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}$$\theta>1$

들면 , I 얻을 것이다 및 UMVUE 다를 것이다 그래서.$0<\theta<1$$g(\theta)=\theta(1+\theta+\theta^2+\cdots)$

---

첫 번째 접근 방식의 조건부 기대치를 직접 찾을 수 없다는 것을 확신하고 이후로 진행했습니다. 조건부 분포 를 찾습니다 . 이를 위해 의 조인트 밀도가 필요했습니다 .$E(X_1\mid \sum\ln X_i=t)=E(X_1\mid \prod X_i=e^t)$$X_1\mid \prod X_i$$(X_1,\prod X_i)$

변수 하여 에 대해 . 공동 지원이 리드 인 입니다.$(X_1,\cdots,X_n)\to (Y_1,\cdots,Y_n)$$Y_i=\prod_{j=1}^i X_j$$i=1,2,\cdots,n$$(Y_1,\cdots,Y_n)$$S=\{(y_1,\cdots,y_n): 0<y_1<1, 0<y_j<y_{j-1} \text{ for } j=2,3,\cdots,n\}$

jacobian 결정자는 .$J=\left(\prod_{i=1}^{n-1}y_i\right)^{-1}$

I는 공동 밀도있어 그래서 같이$(Y_1,\cdots,Y_n)$

$$f_Y(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\frac{\theta^n\, y_n^{\theta-1}}{\prod_{i=1}^{n-1}y_i}\mathbf1_S$$

따라서 의 결합 밀도는$(Y_1,Y_n)$

$$f_{Y_1,Y_n}(y_1,y_n)=\frac{\theta^n\,y_n^{\theta-1}}{y_1}\int_0^{y_{n-2}}\int_0^{y_{n-3}}\cdots\int_0^{y_1}\frac{1}{y_3y_4...y_{n-1}}\frac{\mathrm{d}y_2}{y_2}\cdots\mathrm{d}y_{n-2}\,\mathrm{d}y_{n-1}$$

관절 밀도의 파생을 덜 번거롭게 만드는 다른 변환이 있습니까? 여기에서 올바른 변환을 수행했는지 확실하지 않습니다.

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주석 섹션의 훌륭한 제안을 바탕으로 조인트 밀도 대신 의 조인트 밀도를 찾았습니다. 여기서 및 입니다.$(U,U+V)$$(X_1,\prod X_i)$$U=-\ln X_1$$V=-\sum_{i=2}^n\ln X_i$

와 는 독립적 이라는 것을 즉시 알 수 있습니다.$U\sim\text{Exp}(\theta)$$V\sim\text{Gamma}(n-1,\theta)$

실제로 입니다.$U+V\sim\text{Gamma}(n,\theta)$

들면 의 접합 밀도 있다$n>1$$(U,V)$

$$f_{U,V}(u,v)=\theta e^{-\theta u}\mathbf1_{u>0}\frac{\theta^{n-1}}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta v}v^{n-2}\mathbf1_{v>0}$$

변수를 변경, 나는 공동 밀도를 가지고 등을$(U,U+V)$

$$f_{U,U+V}(u,z)=\frac{\theta^n}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta z}(z-u)^{n-2}\mathbf1_{0<u<z}$$

따라서 의 조건 밀도 는$U\mid U+V=z$

$$f_{U\mid U+V}(u\mid z)=\frac{(n-1)(z-u)^{n-2}}{z^{n-1}}\mathbf1_{0<u<z}$$

이제 UMVUE는 정확히 . 이 게시물의 시작 부분에.$E(e^{-U}\mid U+V=z)=E(X_1\mid \sum_{i=1}^n\ln X_i=-z)$

따라서 남은 일은

$$E(e^{-U}\mid U+V=z)=\frac{n-1}{z^{n-1}}\int_0^z e^{-u}(z-u)^{n-2}\,\mathrm{d}u$$

그러나 마지막 적분은 Mathematica 에 따르면 불완전한 감마 기능 측면에서 닫힌 형태를 가지고 있으며, 지금 무엇을해야할지 궁금합니다.

내 원래 게시물의 두 가지 접근 방식 (내 초기 시도 및 의견 섹션의 제안을 기반으로 한 다른 시도)은 동일한 대답을 제공합니다. 질문에 대한 완전한 답변을 위해 두 가지 방법을 모두 설명하겠습니다.

여기서, 는 감마 밀도 여기서 및 는 평균 ( ) 의 지수 분포를 나타냅니다 . 분명히 입니다.감마 ( N , θ ) F ( Y ) = θ $\text{Gamma}(n,\theta)$Γ ( N ) E-θYYN-11Y>0θ,N>0특급(θ)1/θθ>0특급(θ)≡감마(1,θ$f(y)=\frac{\theta^n}{\Gamma(n)}e^{-\theta y}y^{n-1}\mathbf1_{y>0}$$\theta,n>0$$\text{Exp}(\theta)$$1/\theta$$\theta>0$$\text{Exp}(\theta)\equiv\text{Gamma}(1,\theta)$

이후 충분한 완료 및 의한 레만-Scheffe 방법 정리 는 의 UMVUE입니다 . 따라서이 조건부 기대를 찾아야합니다.T = ∑ n i = 1 ln X i θ E ( X 1 ) = $T=\sum_{i=1}^n\ln X_i$$\theta$1 + θ E(X1∣T)$\mathbb E(X_1)=\frac{\theta}{1+\theta}$$\mathbb E(X_1\mid T)$$\frac{\theta}{1+\theta}$

우리는 참고 입니다.$X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\text{Beta}(\theta,1)\implies-\ln X_i\stackrel{\text{i.i.d}}{\sim}\text{Exp}(\theta)\implies-T\sim\text{Gamma}(n,\theta)$

방법 I :

하자 및 , 그래서 와 독립적이다. 실제로 및 는 암시 합니다.$U=-\ln X_1$$V=-\sum_{i=2}^n\ln X_i$$U$$V$$U\sim\text{Exp}(\theta)$$V\sim\text{Gamma}(n-1,\theta)$$U+V\sim\text{Gamma}(n,\theta)$

따라서 입니다.$\mathbb E(X_1\mid \sum_{i=1}^n\ln X_i=t)=\mathbb E(e^{-U}\mid U+V=-t)$

이제 의 조건부 분포를 찾습니다 .$U\mid U+V$

들면 및 의 접합 밀도 있다$n>1$$\theta>0$$(U,V)$

$$\begin{align}f_{U,V}(u,v)&=\theta e^{-\theta u}\mathbf1_{u>0}\frac{\theta^{n-1}}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta v}v^{n-2}\mathbf1_{v>0}\\&=\frac{\theta^n}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta(u+v)}v^{n-2}\mathbf1_{u,v>0}\end{align}$$

변수를 변경하면 의 조인트 밀도 는$(U,U+V)$

$$f_{U,U+V}(u,z)=\frac{\theta^n}{\Gamma(n-1)}e^{-\theta z}(z-u)^{n-2}\mathbf1_{0<u<z}$$

하자 의 밀도가 될 . 따라서 의 조건부 밀도 는$f_{U+V}(\cdot)$$U+V$$U\mid U+V=z$

$$\begin{align}f_{U\mid U+V}(u\mid z)&=\frac{f_{U,U+V}(u,z)}{f_{U+V}(z)}\\&=\frac{(n-1)(z-u)^{n-2}}{z^{n-1}}\mathbf1_{0<u<z}\end{align}$$

따라서 .$\displaystyle\mathbb E(e^{-U}\mid U+V=z)=\frac{n-1}{z^{n-1}}\int_0^z e^{-u}(z-u)^{n-2}\,\mathrm{d}u$

즉, 의 UMVUE 는$\frac{\theta}{1+\theta}$$\displaystyle\mathbb E(X_1\mid T)=\frac{n-1}{(-T)^{n-1}}\int_0^{-T} e^{-u}(-T-u)^{n-2}\,\mathrm{d}u\tag{1}$

방법 II :

마찬가지로 위한 완전한 충분한 통계치이다 중 어느 바이어스 추정기 의 함수 인 의 UMVUE 것 Lehmann-Scheffe 정리에 의해. 그래서 우리 는 분포가 우리에게 알려진 의 순간을 찾는다 . 우리는$T$$\theta$$\frac{\theta}{1+\theta}$$T$$\frac{\theta}{1+\theta}$$-T$

$$\mathbb E(-T)^r=\int_0^\infty y^r\theta^n\frac{e^{-\theta y}y^{n-1}}{\Gamma(n)}\,\mathrm{d}y=\frac{\Gamma(n+r)}{\theta^r\,\Gamma(n)},\qquad n+r>0$$

이 방정식을 사용하여 모든 정수 대해 의 바이어스되지 않은 추정기 (및 UMVUE)를 .$1/\theta^r$$r\ge1$

이제 경우$\theta>1$$\displaystyle\frac{\theta}{1+\theta}=\left(1+\frac{1}{\theta}\right)^{-1}=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$

의 바이어스 추정기 결합 우리가 구$1/\theta^r$

$$\mathbb E\left(1+\frac{T}{n}+\frac{T^2}{n(n+1)}+\frac{T^3}{n(n+1)(n+2)}+\cdots\right)=1-\frac{1}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}-\frac{1}{\theta^3}+\cdots$$

즉,

$$\mathbb E\left(\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}\right)=\frac{\theta}{1+\theta}$$

따라서 이라고 가정하면 의 UMVUE 는$\theta>1$$\frac{\theta}{1+\theta}$$g(T)=\displaystyle\sum_{r=0}^\infty \frac{T^r}{n(n+1)...(n+r-1)}\tag{2}$

---

두 번째 방법에서 사례에 대해 확신이 없습니다 .$0<\theta<1$

Mathematica 에 따르면 , 식 은 불완전한 감마 함수 측면에서 닫힌 형태를 가지고 있습니다. 그리고 식 에서 우리는 일반적인 감마 함수로 곱을 . 이것은 아마도 과 사이의 명백한 연결을 제공 할 것 입니다.$(1)$$(2)$$n(n+1)(n+2)...(n+r-1)$$n(n+1)(n+2)...(n+r-1)=\frac{\Gamma(n+r)}{\Gamma(n)}$$(1)$$(2)$

Mathematica를 사용하여 과 가 실제로 동일한 지 확인할 수있었습니다 .$(1)$$(2)$

불완전한 상부 감마 기능과 관련하여 당신이 언급 한 더 간결한 답변을 얻을 수 있다고 생각합니다. 첫 번째 방법을 사용하여 표현을 찾았습니다.

$$E \left[ X_1 | X_1X_2 \cdots X_n=e^T \right]=\left( n - 1 \right) \int_0^1 z^r \left( 1 - r \right)^{n-z}dr,$$ 여기서$z=e^T.$

Wolfram Alpha는 이것을 통합하여

$$E \left[ X_1 | X_1X_2 \cdots X_n=e^T \right] = \frac{e^T \left( n-1 \right)}{T^{n-1} } \left[ \left( n-2 \right) !-\Gamma \left(n-1,T \right) \right]$$

이제 이 정수일 때 불완전한 감마 함수 항은 닫힌 형태를 갖습니다 . 그것은$n$

$$\Gamma \left(n-1,T \right)=\frac{\Gamma \left(n-1 \right)}{e^T} \sum_{j=0}^{n-2} \frac{T^j}{j!}$$

기대를 다시 작성하고 단순화하면

$$E \left[ X_1 | X_1X_2 \cdots X_n=e^T \right] = \frac{\Gamma \left( n \right)}{T^{n-1}} \left[ e^T-\sum_{j=0}^{n-2} \frac{T^j}{j!} \right]$$

결과 및 와 동등성을 확인하는 소프트웨어에 액세스 할 수 없지만 및 대한 손 계산은 과 일치합니다 .$(1)$$(2)$$n=2$$n=3$$(1)$