"공간 자기 상관"은 다양한 사람들에게 다양한 것을 의미합니다. 그러나 가장 중요한 개념은 위치에서 관찰되는 현상이 (a) 공변량, (b) 위치 및 (c) 근처 위치 에서의 값에 따라 명확한 방식으로 의존 할 수 있다는 것 입니다. (기술적 정의가 다양 할 경우 고려되는 데이터의 종류, "정확한 방법"이 가정되는 것과 "가까운"의 의미에 따라 다릅니다 : 진행하기 위해서는이 모든 것이 정량적으로 이루어져야합니다.)z
무슨 일이 벌어지고 있는지 확인하기 위해 지역의 지형을 설명하는 공간 모델의 간단한 예를 생각해 봅시다. 점에서 측정 된 고도하자 될 . 한 가지 가능한 모델은 가 좌표에 명확한 수학적 방식으로 의존 한다는 이 2 차원 상황에서 를 쓸 것 입니다. 분들께 (가설 독립) 관찰 및 (평소와 같이 제로 기대를 가지고 가정) 모델 사이의 편차를 나타내고, 우리가 쓸 수 있습니다zy(z)yz(z1,z2)ε
y(z)=β0+β1z1+β2z2+ε(z)
A에 대한 선형 추세 모델 . (의해 표현되는 선형 추세 와 계수) 아이디어를 캡처하는 한 방법은 그 근처의 값 와 에 대한, 근접 하기 , 서로 근접하는 경향한다. 와 , 의 차이 크기의 예상 값을 고려하여이를 계산할 수도 있습니다. . 수학은 많은 것으로 밝혀졌습니다β1β2y(z)y(z′)zz′y(z)y(z′)E[|y(z)−y(z′)|]약간 다른 차이 측정을 사용하는 경우 더 간단합니다. 대신 예상 제곱 차이를 계산합니다 .
E[(y(z)−y(z′))2]=E[(β0+β1z1+β2z2+ε(z)−(β0+β1z′1+β2z′2+ε(z′)))2]=E[(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′+ε(z)−ε(z′))2]=E[(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+2(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)(ε(z)−ε(z′))+(ε(z)−ε(z′))2]=(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+E[(ε(z)−ε(z′))2]
이 모델에는 를 근처의 값 직접 관련시키는 용어가 없기 때문에 명시 적 공간 자기 상관이 없습니다 .y(z)y(z′)
대안의 다른 모델은 선형 추세를 무시하고 자기 상관 만 있다고 가정합니다. 이를위한 한 가지 방법은 편차 의 구조를 이용하는 것 입니다. 우리는 그것을 긍정적으로 할 수 있습니다ε(z)
y(z)=β0+ε(z)
와, 상관의 우리의 기대를 설명하기 위해, 우리는을위한 "공분산 구조"어떤 종류의 가정합니다 . 이를 공간적으로 의미있게하기 위해 과 의 공분산 을 에는 평균이 0 이므로 는 및 가 점점 멀어짐에 따라 감소하는 경향이 있습니다. 세부 사항은 중요하지 않으므로이 공분산 호출하십시오 . 이것은 공간 자기 상관입니다.εε(z)ε(z′)E[ε(z)ε(z′)]εzz′C(z,z′) 실제로 와 의 (일반적인 Pearson) 상관 관계 는y(z)y(z′)
ρ(y(z),y(z′))=C(z,z′)C(z,z)C(z′,z′)−−−−−−−−−−−−√.
이 표기법 에서 첫 번째 모형에 대한 의 이전 예상 제곱 차이 는 다음과 같습니다.y
E[(y(z)−y(z′))2]=(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+E[(ε(z)−ε(z′))2]=(β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2+C1(z,z)+C1(z′,z′)
( 가정) 서로 다른 위치 의 은 독립적 인 것으로 가정 되었기 때문 입니다. 이것이 대신 을 작성 하여 이것이 첫 번째 모형의 공분산 함수임을 나타냅니다.z≠z′εC1C
의 공분산이 한 위치에서 다른 위치로 크게 변하지 않는 경우 (실제로 일정하다고 가정)이 방정식은 사이의 분리 로 의 예상 제곱 차가 2 차적으로 증가 함을 보여줍니다. 및 입니다. 실제 증가량은 추세 계수 및 의해 결정됩니다 .εyzz′β0β1
의 예상 제곱 차이 가 새 모델 인 모델 2에 대해 무엇인지 봅시다 :y
E[(y(z)−y(z′))2]=E[(β0+ε(z)−(β0+ε(z′)))2]=E[(ε(z)−ε(z′))2]=E[ε(z)2−2ε(z)ε(z′)+ε(z′)2]=C2(z,z)−2C2(z,z′)+C2(z′,z′).
다시 이것은 적절한 방식으로 동작 : 우리는 생각하기 때문에 한다 감소 로 와 가 더 분리 예상 제곱 차이 의 참으로가는 최대 위치의 분리가 증가.C2(z,z′)zz′y
위한 두 개의 식을 비교 두 모델에 있음을 도시 첫 번째 모델의 는 두 번째 모델의 와 수학적으로 동일한 역할을 수행 합니다. ( 의 다른 의미에 묻혀있는 추가 상수가 있지만이 분석에서는 중요하지 않습니다. Ergo , 모델에 따라 공간 상관 관계 일반적으로 임의의 오류에 대한 경향과 규정 된 상관 구조의 일부 조합으로 표시됩니다.( β 1 ( Z 1 - Z ' 1 ) + β (2) ( Z 2 - Z 2 ) ' ) 2 - 2 C 2 ( Z , Z ' ) C i ( z , z )E[(y(z)−y(z′))2](β1(z1−z′1)+β2(z2−z2)′)2−2C2(z,z′)Ci(z,z)
우리는 이제이 질문에 대한 명확한 답변을 얻었습니다. Tobler의 지리학 법칙 ( "모든 것은 다른 모든 것과 관련되어 있지만 가까운 것은 더 관련이 있습니다") 의 아이디어를 다른 방식으로 나타낼 수 있습니다 . 일부 모델에서, Tobler의 법칙은 경도 및 위도와 같은 공간 좌표의 함수 인 경향 (또는 "드리프트"항)을 포함하여 적절히 표현됩니다. 다른 한편으로, Tobler의 법칙은 부가적인 임의의 항 ( 중에서 사소한 공분산 구조를 통해 포착됩니다.ε). 실제로 모델에는 두 가지 방법이 통합되어 있습니다. 어떤 것을 선택 하는가는 모델로 달성하고자하는 대상과 공간적 자기 상관이 어떻게 발생하는지에 대한 관점에 따라 달라집니다 (기본 경향이 암시하는지 또는 무작위로 고려하고자하는 변동을 반영하는지 여부). 어느 쪽도 항상 옳은 것은 아니며 주어진 문제에서 두 종류의 모델을 사용하여 데이터를 분석하고 현상을 이해하며 다른 위치에서 값을 예측하는 것이 가능합니다 (보간).