연속 균일 분포에서 확률의 합이 무한대가 아닌 이유는 무엇입니까?

균일 분포 (연속)의 확률 밀도 함수는 위에 나와 있습니다. 곡선 아래의 면적은 1-확률 분포의 모든 확률의 합이 1이므로 의미가 있습니다.

공식적으로 위의 확률 함수 (f (x))는 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

[a, b]에서 x에 대해 1 / (ba)

그렇지 않으면 0

a (예 : 2)와 b (예 : 6) 사이에서 실수를 선택해야합니다. 이것은 균일 확률 = 0.25가됩니다. 그러나 해당 구간에 무한한 수의 숫자가 있기 때문에 모든 확률의 합이 무한대로 계산되어서는 안됩니까? 내가 무엇을 간과하고 있습니까?

f (x)는 숫자 x가 발생할 확률이 아닌가?

$f(x)$ 는 예제에서 확률 질량이 아닌 확률 밀도 를 나타냅니다. 일반적으로,에 대한 연속적인 분포 이벤트 이다 피 우리 확률을 얻는 것을 -THE 범위 등의 곡선 아래의 면적에 관해서 값의 에 , 또는 발 에 (이러한 범위는 연속적 일 필요는 있지만) . 연속 분포의 경우 단일 값이 발생할 확률은 일반적으로 0입니다.$a$$a+.1$$a$$b$

요약의 각 항에 무한대 d가 가중되기 때문에$x$. 이것의 중요성은 아마도 매우 기본적인 예를주의 깊게 살펴보면 가장 쉽게 이해할 수 있습니다.

Riemann summation을 사용하여 다음 사각형 영역 아래의 면적을 계산해보십시오 (여기서는 초점이 아닌 Riemann summation의 근사 측면을 제거하기 위해 사각형을 선택했습니다). ] 2 개의 하위 영역을 사용하거나 4 개의 하위 영역을 사용하여 영역을 계산할 수 있습니다. . 2 개 소 지역의 경우$A_i$), 영역은

$$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ 반면에 4 개 소 지역의 경우 $B_i$), 영역은 $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ 두 경우의 총 면적은 $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ 자, 이것은 상당히 명백하지만, 미묘하게 중요한 질문을 제기합니다. 왜이 두 대답이 동의 합니까? 직관적으로 두 번째 하위 영역 세트의 너비 를 줄 였으므로 작동한다는 것이 분명해야합니다 . 너비가 각각 8 개의 하위 영역으로 동일한 작업을 수행 할 수 있습니다.$0.5$, 그리고 다시 16으로 ... 그리고 우리는 각각의 작은 너비 d를 가진 무한한 수의 하위 영역을 가질 때까지이 과정을 계속할 수 있습니다.$x$. 모든 것이 항상 정확하게 가중치를 부여받는 한, 그 대답은 항상 동의해야합니다. 올바른 가중치를 적용하지 않으면 요약은 실제로 단순히$\infty$.

그렇기 때문에 항상 학생들에게 적분은 단순한 상징이 아니라고 지적합니다. $\int$이지만 기호 쌍$\int \text dx$.

확률 분포를 잘못된 방식으로 해석하고 있습니다. 무한한 확률로 나눌 수있는 무한 확률이므로 "(0, 1) 균일 분포에서 0.5 값을 그릴 확률은" 제로 - 당신은 가능한 값의 무한한 수있다 할 수 얻을, 그리고 그들 모두 그렇게 명확하게 개별 결과의 확률은 똑같이 가능성$\frac{1}{\infty} = 0$^[1] .

대신 결과 범위에 대한 확률을보고 영역 (따라서 적분)을 사용하여 측정 할 수 있습니다. 예를 들어 (0, 1) 균일 분포에서 추출한 경우 (pdf 포함)$f(x) = 1$ ...에 대한 $x \in \left[0, 1\right]$ 과 $f(x) = 0$ 그렇지 않으면) 결과가 사이에있을 확률 $0.2$ 과 $0.3$ 이다

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

즉, 해당 범위에서 결과를 얻을 확률이 10 %입니다.

^[1] 계산이 너무 단순화되어 심장 마비가있는 모든 사람에게 죄송합니다.

일반적으로이 가정에서는 추론이 실패합니다.

그러나 해당 구간에 무한한 수의 숫자가 있기 때문에 모든 확률의 합이 무한대로 계산되어서는 안됩니까?

그것은 Elea Paradoxes 의 Zeno 이후로 알려진 수학적 문제 입니다.

그의 주장 중 두 가지는

1. 화살은 절대 목표에 도달 할 수 없습니다
2. 아킬레스는 결코 거북이를 추월하지 않을 것입니다

둘 다 무한한 양의 숫자를 만들 수 있다는 주장에 근거했습니다 (이전의 경우 화살표는 나머지 길의 절반을 대상으로 무한히 곱해야한다고 말하고, 후자는 아킬레스가 거북이가 이전에 있던 위치에 도달하는 동안 거북이는 다음 기준점이되는 새로운 위치로 이동합니다.

빨리, 이것은 무한한 합계의 발견으로 이어졌다.

따라서 일반적 으로 무한의 합은 많은 양수가 반드시 무한 할 필요는 없습니다 . 그러나 0에 가까워 지더라도 시퀀스의 거의 모든 숫자가 0에 매우 가까운 경우에만 (극단적 단순화) 죄송합니다.

무한대는 더 많은 트릭을 재생합니다. 위해 당신이 순서의 요소를 추가하는 너무 중요하고 재 배열이 서로 다른 결과를 제공하는 상황으로 이어질 수도 있습니다!

무한의 역설에 대해 조금 더 알아보십시오 . 당신은 놀라게 될 것입니다.

$f(x)$ 확률 밀도를 설명하고 단위를 $\frac{p}{x}$. 따라서 주어진 x에 대해$f(x) = \frac{1}{b-a}$ 에 $\frac{p}{x}$찾고있는 p가 아닌 단위. p를 원하면 주어진 범위에 대한 분포 함수, 즉 x의 확률 p가 a와 b 내에 있어야합니다.

이것이 의미가 있기를 바랍니다.