이 질문은 Pokemon Soulsilver의 미니 게임에서 영감을 얻었습니다.

이 5x6 영역에 15 개의 폭탄이 숨겨져 있다고 상상해보십시오 (편집 : 최대 1 개의 폭탄 / 셀).

이제 행 / 열 합계를 고려하여 특정 필드에서 폭탄을 찾을 확률을 어떻게 추정 할 수 있습니까?

열 5 (총 폭탄 = 5)를 보면 다음과 같이 생각할 수 있습니다.이 열에서 행 2에서 폭탄을 찾을 가능성은 행 1에서 폭탄을 찾을 확률의 두 배입니다.

직접 비례에 대한이 (잘못된) 가정은 기본적으로 표준 독립 테스트 작업 (예 : Chi-Square)을 잘못된 컨텍스트로 그리는 것으로 설명 할 수 있습니다.

보시다시피 직접 비례는 100 % 이상의 확률 추정치로 이어지며 그 이전에도 잘못 될 것입니다.

그래서 가능한 모든 순열에 대한 계산 시뮬레이션을 수행하여 15 개의 폭탄을 배치 할 수있는 276 개의 고유 한 가능성을 이끌어 냈습니다. (주어진 행과 열 합계)

다음은 276 개 솔루션에 대한 평균입니다.

이것이 올바른 해결책이지만 지수 계산 작업으로 인해 추정 방법을 찾고 싶습니다.

내 질문은 지금 : 이것을 추정하기 위해 확립 된 통계 방법이 있습니까? 이것이 알려진 문제인지, 어떻게 호출되는지, 추천 할 수있는 논문 / 웹 사이트가 있는지 궁금합니다.

솔루션 공간 (유효한 폭탄 구성)은 주어진 차수 순서로 이분 그래프로 볼 수 있습니다. (그리드는 이중 인접성 매트릭스입니다.) Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 방법을 사용하여 해당 공간에 균일 한 분포를 생성 할 수 있습니다. 퍼즐 풀링에서 일련의 "스위치"를 사용하여 다른 솔루션에서 모든 솔루션을 얻을 수 있습니다. 다음과 같이 보입니다.

$$\begin{pmatrix} x & - \\ - & x \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} - & x \\ x & - \end{pmatrix}$$

이것이 빠른 혼합 특성을 가지고 있음이 입증되었습니다. 따라서 유효한 구성으로 시작하고 잠시 MCMC를 실행하도록 설정하면 솔루션에 대한 균일 한 분포가 근사치가되므로 원하는 확률을 평균적으로 지적 할 수 있습니다.

나는이 접근법과 그들의 계산 측면에 대해 모호하게 익숙하지만 적어도 이런 식으로 비 솔루션을 열거하지 않아도됩니다.

주제에 대한 문헌 시작 :
https://faculty.math.illinois.edu/~mlavrov/seminar/2018-erdos.pdf
https://arxiv.org/pdf/1701.07101.pdf
https : // www. tandfonline.com/doi/abs/10.1198/016214504000001303

독특한 해결책은 없습니다

추가 가정을하지 않으면 진정한 이산 확률 분포를 복구 할 수 있다고 생각하지 않습니다. 귀하의 상황은 기본적으로 한계에서 공동 배포를 복구하는 문제입니다. 때로는 금융 리스크 관리와 같은 산업에서 copulas 를 사용하여 해결 하지만 일반적으로 지속적인 배포를 위해 해결됩니다.

존재, 독립적, AS 205

존재 문제 에서 한 셀에 하나 이상의 폭탄이 허용 되지 않습니다 . 다시 말하지만, 독립의 특별한 경우에는 비교적 효율적인 계산 솔루션이 있습니다.

FORTRAN을 알고 있으면 AS 205 알고리즘 : Ian Saunders, 알고리즘 AS 205 : 반복 된 행 총계가있는 R x C 테이블 열거, 적용된 통계, 볼륨 33, 번호 3, 1984, 340-352 페이지를 구현 하는 이 코드 를 사용할 수 있습니다 . @Glen_B가 언급 한 Panefield의 알고리즘과 관련이 있습니다.

이 알고리즘은 모든 프레즌스 테이블을 열거합니다. 즉, 한 폭탄 만 필드에있는 가능한 모든 테이블을 통과합니다. 또한 다중도, 즉 동일한 모양의 여러 테이블을 계산하고 일부 확률 (관심 사항이 아닌)을 계산합니다. 이 알고리즘을 사용하면 이전보다 빠르게 전체 열거를 실행할 수 있습니다.

독립성이 아닌 존재

AS 205 알고리즘은 행과 열이 독립적이지 않은 경우에 적용 할 수 있습니다. 이 경우 열거 논리에 의해 생성 된 각 테이블에 서로 다른 가중치를 적용해야합니다. 무게는 폭탄 배치 과정에 따라 다릅니다.

카운트, 독립

카운트 문제는 허용 하나 개 이상의 물론, 셀에 배치 폭탄을. 독립적 인 행과 열 개수 문제 의 특별한 경우 는 쉽습니다. 여기서 와 는 행과 열의 가장자리입니다. 예를 들어, 행 및 열 이므로 폭탄이 6 행에 있고 3 열이 있습니다. 실제로 첫 번째 테이블에서이 분포를 생성했습니다.$P_i^j=P_i\times P^j$$P_i$$P^j$$P_6=3/15=0.2$$P^3=3/15=0.2$$P_6^3=0.04$

독립적, 독립형 Copulas 수

행과 열이 독립적이지 않은 카운트 문제를 해결하기 위해 별개의 copulas를 적용 할 수 있습니다. 그들은 문제가 있습니다 : 그들은 독특하지 않습니다. 그러나 쓸모없는 것은 아닙니다. 그래서 별개의 copulas를 적용하려고합니다. Genest, C. 및 J. Nešlehová (2007) 에서 이들에 대한 좋은 개요를 찾을 수 있습니다 . 카운트 데이터에 대한 copulas의 뇌관. 애스틴 불. 37 (2), 475–515.

Copulas는 일반적으로 명시 적으로 의존성을 유도하거나 데이터를 사용할 수있을 때 데이터에서 추정 할 수 있으므로 특히 유용합니다. 폭탄을 배치 할 때 행과 열의 의존성을 의미합니다. 예를 들어, 폭탄이 첫 번째 행인 경우 첫 번째 열일 수도 있습니다.

예

Kimeldorf와 Sampson copula를 데이터에 적용하여 하나 이상의 폭탄을 셀에 넣을 수 있다고 가정합니다 . 종속 변수의 접합부 :으로 정의된다 당신이 생각할 수 상관 계수의 아날로그로서 .$\theta$

$$C(u,v)=(u^{-\theta}+u^{-\theta}-1)^{-1/\theta}$$ $\theta$

독립적 인

의존성이 약한 의 경우부터 시작하겠습니다 . 여기서 우리는 다음과 같은 확률 (PMF)을 가지며 한계 PDF는 오른쪽과 아래쪽의 패널에도 표시됩니다.$\theta=0.000001$

열 5에서 두 번째 행 확률이 첫 번째 행보다 두 배 높은 확률을 갖는 것을 볼 수 있습니다. 이것은 당신이 당신의 질문에 암시하는 것처럼 보이는 것이 아닙니다. 물론 패널의 마진이 주파수와 일치하기 때문에 모든 확률은 최대 100 %가됩니다. 예를 들어, 아래쪽 패널의 열 5는 1/3을 표시하며 예상대로 총 15 개 중 5 개의 폭탄에 해당합니다.

긍정적 상관

과의 강력한 의존성 (양의 상관 관계)을 위해 다음과 같은 결과를 .$\theta=10$

음의 상관

더 강력하지만 음의 상관 관계 (종속성) 대해서도 동일합니다 .$\theta=-0.2$

물론 모든 확률이 100 %까지 증가 함을 알 수 있습니다. 또한 종속성이 PMF의 모양에 미치는 영향을 확인할 수 있습니다. 긍정적 인 의존성 (상관)의 경우 대각선에 가장 높은 PMF가 집중되고 부정적인 의존성의 경우 대각선이 아닙니다.

귀하의 질문 으로이 사실을 명확하게 밝히지는 않지만 폭탄은 처음에 셀을 교체하지 않고 간단한 임의 샘플링을 통해 배포된다고 가정합니다 (셀에 둘 이상의 폭탄이 포함될 수 없음). 제기 한 문제는 본질적으로 정확히 이론적으로 계산할 수 있지만 큰 매개 변수 값을 계산하기에는 계산할 수없는 확률 분포에 대한 추정 방법의 개발을 요구하는 것입니다.

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정확한 솔루션이 존재하지만 계산 집약적

질문에서 지적했듯이 가능한 모든 할당에 대해 계산 검색을 수행하여 행 및 열 총계와 일치하는 할당을 식별 할 수 있습니다. 다음과 같이 공식적으로 진행할 수 있습니다. 우리가 그리드를 다루고 있고 교체하지 않고 간단한 무작위 샘플링을 통해 폭탄을 할당 한다고 가정하십시오 (따라서 각 셀은 하나 이상의 폭탄을 포함 할 수 없습니다).$n \times m$$b$

하자 표시기 변수의 벡터 폭탄은 각각의 셀 내에 존재하는지 여부를 나타내는 수를하고하자 은 행과 열 합계의 해당 벡터를 나타냅니다. 함수를 정의하십시오. 이는 할당 벡터에서 행 및 열 합계로 맵핑됩니다.$\mathbf{x} = (x_1,...,x_{nm})$$\mathbf{s} = (r_1, ..., r_n, c_1, ..., c_m)$$S: \mathbf{x} \mapsto \mathbf{s}$

목표는 행 및 열 합계에 대한 지식에 따라 각 할당 벡터의 확률을 결정하는 것입니다. 단순 랜덤 샘플링에서 이 있으므로 조건부 관심 확률은 다음과 같습니다.$\mathbb{P}(\mathbf{x}) \propto 1$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(\mathbf{x} | \mathbf{s}) = \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}, \mathbf{s})}{\mathbb{P}(\mathbf{s})} &= \frac{\mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{P}(\mathbf{x}) \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{\mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})}{\sum_\mathbf{x} \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s})} \\[6pt] &= \frac{1}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|} \cdot \mathbb{I}(S(\mathbf{x}) = \mathbf{s}) \\[6pt] &= \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}), \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

여기서 는 벡터 와 호환되는 모든 할당 벡터의 집합입니다 . 이것은 (단순한 폭탄 샘플링으로) . 즉, 폭탄에 대한 할당 벡터의 조건부 분포는 관찰 된 행 및 열 총계와 호환되는 모든 할당 벡터 세트에 대해 균일하다. 주어진 셀에서 폭탄의 한계 확률은이 공동 분포에 대해 한계를 설정함으로써 얻을 수 있습니다.$\mathscr{X}_\mathbf{s} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | S(\mathbf{x}) = \mathbf{s} \}$$\mathbf{s}$$\mathbf{x} | \mathbf{s} \sim \text{U}(\mathscr{X}_\mathbf{s})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \sum_{\mathbf{x}: x_{ij} = 1} \text{U}(\mathbf{x} | \mathscr{X}_\mathbf{s}) = \frac{|\mathscr{X}_{ij} \cap \mathscr{X}_\mathbf{s}|}{|\mathscr{X}_\mathbf{s}|}. \end{aligned} \end{equation}$$

여기서 는 번째 행과 번째 열의 셀에 폭탄이있는 모든 할당 벡터의 집합입니다 . 지금, 당신의 특정 문제에 당신이 세트 계산 그 발견 이므로 할당 벡터의 조건부 확률은 계산 한 할당 집합에 대해 균일합니다 (올바르게 수행했다고 가정). 이것은 문제에 대한 정확한 해결책입니다. 그러나 집합을 계산하는 것은 계산 집약적 이므로 , 일 때이 솔루션의 계산이 불가능할 수 있습니다$\mathscr{X}_{ij} \equiv \{ \mathbf{x} \in \{ 0, 1\}^{nm} | x_{ij} = 1 \}$$i$$j$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$$|\mathscr{X}_\mathbf{s}| = 276$$\mathscr{X}_\mathbf{s}$$n$$m$또는 가 커진다.$b$

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좋은 추정 방법 검색

집합을 계산할 수없는 경우 특정 셀에있는 폭탄의 한계 확률을 추정 할 수 있습니다. 나는이 문제에 대한 추정 방법을 제공하는 기존의 연구에 대해 알지 못하므로 그럴듯한 추정기를 개발 한 다음 컴퓨터 시뮬레이션을 사용하여 이에 충분히 낮은 매개 변수 값에 대한 정확한 솔루션에 대해 성능을 테스트해야합니다. 가능하다.$\mathscr{X}_\mathbf{s}$

순진한 경험적 추정기 : 초록색 테이블에서 제안하고 사용한 추정기는 다음과 같습니다.

$$\hat{\mathbb{P}}(x_{ij} = 1 | \mathbf{s}) = \frac{r_i}{b} \cdot \frac{c_j}{b} \cdot b = \frac{r_i \cdot c_j}{b}.$$

이 추정 방법은 행과 열을 독립적으로 취급하고 행과 열 합계의 상대 주파수에 의해 특정 행 / 열에서 폭탄의 확률을 추정합니다. 이 추정기 가 원하는대로 모든 셀에 대해 를 합산하는 것은 간단합니다 . 불행히도, 경우에 따라 예상 확률보다 1을 초과 할 수 있다는 큰 단점이 있습니다. 그것은 견적 자에게 나쁜 재산입니다.$b$