우리는 N 개의 샘플을 가지고 있습니다. $X_i$균일 한 분포에서 $[0,\theta]$ 어디 $\theta$알 수 없습니다. 견적$\theta$ 데이터에서.

베이 즈의 규칙은 ...

$f(\theta | {X_i}) = \frac{f({X_i}|\theta)f(\theta)}{f({X_i})}$

가능성은 다음과 같습니다.

$f({X_i}|\theta) = \prod_{i=1}^N \frac{1}{\theta}$ (편집 : 언제 $0 \le X_i \le \theta$ 모든 $i$, 그렇지 않으면 0-고마워 whuber)

하지만 다른 정보는 없습니다 $\theta$이전의 비율이 $1$ (즉, 유니폼) 또는 $\frac{1}{L}$ (제프리스?) $[0,\infty]$그러나 내 적분이 수렴하지 않고 진행 방법을 잘 모르겠습니다. 어떤 아이디어?

이로 인해 몇 가지 흥미로운 논쟁이 벌어졌지만 실제로 관심사에 큰 영향을 미치지는 않습니다. 개인적으로 저는 가 scale 매개 변수 이기 때문에 변환 그룹 인수가 적절 하다고 생각합니다.$\theta$

$$\begin{array}& p(\theta|I)=\frac{\theta^{-1}}{\log\left(\frac{U}{L}\right)}\propto\theta^{-1} & L<\theta<U\end{array}$$

이 분포는 문제의 재조정시 동일한 형식을 갖습니다 (재조정시 "불변"가능성도 있습니다). 이 이전의 커널 은 함수 방정식 를 풀어서 도출 할 수 있습니다 . 값 은 문제에 따라 다르며 샘플 크기가 매우 작은 경우에만 중요합니다 (1 또는 2와 같이). 후부는 잘린 파레토입니다.$f(y)=y^{-1}$$af(ay)=f(y)$$L,U$

$$\begin{array}\\ p(\theta|DI)=\frac{N\theta^{-N-1}}{ (L^{*})^{-N}-U^{-N}} & L^{*}<\theta<U & \text{where} & L^{*}=max(L,X_{(N)}) \end{array}$$ 여기서 은 N 번째입니다 주문 통계 또는 표본의 최대 값. 우리의 후방 평균 얻을 우리가 세트 및 우리가 간단한 exression를 얻을 .$X_{(N)}$ $$E(\theta|DI)= \frac{ N((L^{*})^{1-N}-U^{1-N}) }{ (N-1)((L^{*})^{-N}-U^{-N}) }=\frac{N}{N-1}L^{*}\left(\frac{ 1-\left[\frac{L^{*}}{U}\right]^{N-1} }{ 1-\left[\frac{L^{*}}{U}\right]^{N} }\right)$$ $U\to\infty$$L\to 0$$E(\theta|DI)=\frac{N}{N-1}X_{(N)}$

하지만 지금 우리가 사용하는 가정보다 일반적인 이전에 의해 주어진 (주 우리는 제한 유지하는 것이 모든 것이 적절한 지 확인하지 않으려면 - 더 단수 수학을 다음 ). 후방은 상기와 동일하지만,로 에 의해 대체 - 단 . 위의 계산을 반복하여 우리는 단순화 된 사후 평균$p(\theta|cI)\propto\theta^{-c-1}$$L,U$$N$$c+N$$c+N\geq 0$

$$E(\theta|DI)=\frac{N+c}{N+c-1}X_{(N)}$$

따라서 균일 한 이전 ( )은 (평균은 대해 무한대 인 경우 의 추정치를 제공합니다 . 이것은 여기서 토론 이 분산 추정에서 제수로 또는 을 사용할지 여부와 약간 비슷하다는 것을 보여줍니다 .$c=-1$$\frac{N-1}{N-2}X_{(N)}$$N\geq 2$$N=2$$N$$N-1$

이 경우, 종래 균일 부적절한 사용에 대해 하나 개의 인수 때 후방 부적절하다는 것이다 , 그대로 비례에 . 그러나 이것은 이거나 매우 작은 경우에만 중요합니다 .$N=1$$\theta^{-1}$$N=1$

여기서의 목적은 아마도 유효하고 유용한 추정치를 얻는 때문에, 사전 분포 는 표본이 나오는 모집단 분포의 사양과 일치해야합니다 . 이것은 샘플 자체를 사용하여 사전을 "계산"한다는 의미는 아닙니다. 이는 전체 절차의 유효성을 무효화합니다. 표본이 나오는 모집단은 각각 범위의 iid 균일 랜덤 변수의 집단이라는 것을 알고 있습니다. 이것은 유지되는 가정 이며 우리가 보유한 이전 정보의 일부입니다 ( 샘플 과는 아무런 관련이 없습니다 . 즉, 임의 변수의 하위 집합을 구체적으로 구현하는 것과 관련 이 없습니다 ).$\theta$$[0,\theta]$

이제이 모집단은 랜덤 변수 로 구성되어 있다고 가정합니다 (샘플은 랜덤 변수 구현으로 ). 유지 된 가정은 $m$$n<m$$n$

$$\max_{i=1,...,n}\{X_i\}\le \max_{j=1,...,m}\{X_j\} \le \theta$$

소형화 냅니다. 그런 다음 를 쓸 수 있으며 이라고 쓸 수도 있습니다. $\max_{i=1,...,n}\{X_i\} \equiv X^*$$\theta \ge X^*$

$$\theta = cX^*\qquad c\ge 1$$

의 밀도 함수 의 균일 RV의 범위를 IID 이다 $\max$$N$$[0,\theta]$

$$f_{X^*}(x^*) = N\frac {(x^*)^{N-1}}{\theta^N}$$

지원 하고 다른 곳에서는 0입니다. 그런 다음 하고 변수 변경 공식을 적용하여 유지 가정과 일치하는 대한 사전 분포를 얻습니다 . $[0,\theta]$$\theta = cX^*$$\theta$

$$f_p(\theta) = N\frac {(\frac{\theta}{c})^{N-1}}{\theta^N}\frac 1c = \frac {N}{c^N} \theta^{-1}\qquad \theta \in [x^*, \infty]$$

상수 적절하게 지정하지 않으면 적절 하지 않을 수 있습니다 . 그러나 우리의 관심은 대한 적절한 후손 을 갖는 것입니다. 또한 우리는 의 가능한 값을 제한하고 싶지 않습니다 (유지 된 가정에 의해 암시 된 제한을 넘어서). 우리가 떠날 그래서 미결정. 이어서 기록 후방이고$c$$\theta$$\theta$$c$
$\mathbf X = \{x_1,..,x_n\}$

$$f(\theta \mid \mathbf X)\; \propto\; \theta^{-N}\frac {N}{c^N} \theta^{-1} \Rightarrow f(\theta \mid \mathbf X) = A\frac {N}{c^N} \theta^{-(N+1)}$$

정규화 상수 A의 경우

$$\int_{S_{\theta}}f(\theta \mid \mathbf X)d\theta =1 \Rightarrow \int_{x^*}^{\infty}A\frac {N}{c^N} \theta^{-(N+1)}d\theta =1$$

$$\Rightarrow A\frac {N}{c^N}\frac {1}{-N}\theta^{-N}\Big |_{x^*}^{\infty} = 1 \Rightarrow A = (cx^*)^N$$

후방

$$f(\theta \mid \mathbf X) = (cx^*)^N\frac {N}{c^N} \theta^{-(N+1)} = N(x^*)^N\theta^{-(N+1)}$$

이전 분포 의 결정되지 않은 상수 는 편리하게 상쇄되었다는 점에 유의하십시오 .$c$

후자는 의 값에 관해 특정 샘플이 우리에게 줄 수있는 모든 정보를 요약합니다 . 대한 특정 값을 얻으려면 사후의 예상 값을 쉽게 계산할 수 있습니다. $\theta$$\theta$

$$E(\theta\mid \mathbf X) = \int_{x^*}^{\infty}\theta N(x^*)^N\theta^{-(N+1)}d\theta = -\frac{N}{N-1}(x^*)^N\theta^{-N+1}\Big |_{x^*}^{\infty} = \frac{N}{N-1}x^*$$

이 결과에 직관이 있습니까? 음의 수가 의 증가는 더 많은 가능성이 그 (것)들의 사이에서 최대의 실현은 점점 더 가까이 자신의 상한에있을 것입니다 의 사후 평균 값이 정확히 무엇 인 - 있는 경우, 말 : 반영 , 하지만, 만약 . 이것은 이전의 선택에 관한 우리의 전술이 합리적 이고 당면한 문제 와 일치 하지만 어떤 의미에서는 반드시 "최적의"것은 아니라는 것을 보여줍니다 .$X$$\theta$$\theta$$N=2 \Rightarrow E(\theta\mid \mathbf X) = 2x^*$$N=10 \Rightarrow E(\theta\mid \mathbf X) = \frac{10}{9}x^*$

균일 한 사전 분포 정리 (간격 사건) :

" 데이터 외부의 에 대한 귀하의 정보 전체가 단일 제안 그러면 논리적으로 내부적으로 일관된 유일한 사전 지정 사양은 $\theta$$D$

$$B=\{\{\text{Possible values for } \theta\}=\{\text{the interval } (a,b)\},a<b\}$$ $$f(\theta)=\text{Uniform}(a,b)$$

따라서 위의 정리를 진정으로 믿는다면 이전의 사양은 Jeffrey의 이전과 일치해야합니다. "

통일 선 분포 정리의 일부가 아님 :

또는 이전 분포 를 파레토 분포 (파레토 분포 로 지정할 수 있습니다 . 파레토 분포는 균일에 대한 켤레 분포이며, 후방 분포는 접합에 의해 또 다른 균일 한 분포 여야한다는 것을 알고 있습니다. 그러나 파레토 분포를 사용하는 경우 일종의 방식으로 파레토 분포의 모수를 지정해야합니다.$f(\theta)$