고정 효과 모델에서 시간 불변 변수를 유지하는 방법

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10 년 동안 이탈리아의 한 대기업 직원에 대한 데이터를 보유하고 있으며 시간이 지남에 따라 남성과 여성의 소득 차이가 어떻게 변했는지보고 싶습니다. 이를 위해 풀링 된 OLS를 실행합니다. 연간 로그 이익이다는 개인과 시간 차이 공변량 포함 년 인형하고 있습니다 근로자가 남성이고, 그렇지 않으면 0 인 경우 중 하나에 해당합니다.

y_{i t} = X_{i t}^{'} β + δ {m a l e}_{i} + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} d_{t} + ε_{i t}

$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$

y

$y$

X_{i t}

$X_{it}$

d_{t}

$d_t$

{m a l e}_{i}

${\rm male}_i$

이제 공변량 중 일부가 관찰되지 않은 고정 효과와 상관 될 수 있다는 우려가 있습니다. 그러나 고정 효과 (내부) 추정기 또는 첫 번째 차이를 사용하면이 변수가 시간이 지나도 변하지 않기 때문에 성별 더미가 손실됩니다. 나는 랜덤 효과 추정기를 사용하고 싶지 않습니다. 사람들은 종종 그것이 매우 비현실적이며 견딜 수 없을 것이라고 가정한다고 말하는 사람들의 말을 듣고 있기 때문입니다.

성별 더미를 유지하고 고정 효과를 동시에 제어 할 수있는 방법이 있습니까? 방법이 있다면 성별 변수에 대한 가설 검정 오류와 관련된 다른 문제를 모으거나 처리해야합니까?

— 사용자
소스

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고정 된 효과 회귀 분석에서 성별 더미를 유지하는 몇 가지 방법이 있습니다.

견적 안에
당신은 당신의 풀링 OLS 모델에 비해 유사한 모델을 가정 변수가 이전된다. 지금 유의 및 추정기 내에는 고정 효과를 구별 할 수 없기 때문에 식별 할 수없는 . 점을 감안 기준 연도에 대한 절편 , 이 기간 실적에 대한 성별 효과가있다. 우리가이 경우에 식별 할 수있는 것은 있습니다

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ_{1} (m a l e_{i}) + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} (d_{t} \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1} + γ_{1} (m a l e_{i})

$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$

c_{i}

$c_i$

β_{1}

$\beta_1$

t = 1

$t=1$

γ_{1}

$\gamma_1$

은 시간 모형과 상호 작용하고 첫 번째 기간에 대한 성별 변수의 부분 효과의 차이를 측정하기 때문입니다. 이 방법 당신은 당신의 증가 관찰 할 경우

시간에 따른

은 남녀 간의 소득 격차가 확대되고 있음을 나타냅니다.

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2,...,\gamma_{10}$

1 차 추정량
시간이 지남에 따라 남녀의 차이의 전체 효과를 알고 싶다면 다음 모델을 시도해 볼 수 있습니다. 여기서 변수

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ (t \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

은 시간에 따라 변하지 않는 성별 더미와 상호 작용합니다. 이제 첫 번째 차이

과

제거하면

t = 1, 2, . . ., 10

$t = 1, 2,...,10$

β_{1}

$\beta_1$

c_{i}

$c_i$

이어서

y_{i t} - y_{i (t - 1)} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} (d_{t} - d_{(t - 1)}) + γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) + (X_{i t}^{'} - X_{i (t - 1)}^{'}) θ + ϵ_{i t} - ϵ_{i (t - 1)}

$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$

소득

의 성별 차이를 확인할 수 있습니다. 따라서 최종 회귀 방정식은 다음과 같습니다.

γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) = γ [(t - (t - 1)) \cdot m a l e_{i}] = γ (m a l e_{i})

$\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$

γ

$\gamma$

그리고 관심의 효과를 얻을 수 있습니다. 좋은 점은 통계 소프트웨어에서 쉽게 구현할 수 있지만 시간이 절약된다는 것입니다.

Δ y_{i t} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} Δ d_{t} + γ (m a l e_{i}) + Δ X_{i t}^{'} θ + Δ ϵ_{i t}

$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$

Hausman-Taylor Estimator
이 추정기는 고정 효과 와 관련이없는 것으로 가정 할 수있는 회귀 분석기와 잠재적으로 상관 관계가있는 회귀 분석기를 구별 합니다. 또한 시변 변수와 시변 변수를 구별합니다. 하자 로 비 상관 나타낸다 변수 과 의하고하자 사람들은 성별 변수가 유일한 시간 불변 변수라고합니다. Hausman-Taylor 추정기는 랜덤 효과 변환을 적용합니다. $c_i$ $1$ $c_i$ $2$ 여기서 표기법 수단 틸드어디에이며 랜덤 효과 변환 및

{\tilde{y}}_{i t} = {\tilde{X}}_{1 i t}^{'} + {\tilde{X}}_{2 i t}^{'} + γ ({\tilde{m a l e}}_{i 2}) + {\tilde{c}}_{i} + {\tilde{ϵ}}_{i t}

$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$

{\tilde{X}}_{1 i t} = X_{1 i t} - {\hat{θ}}_{i} {\bar{X}}_{1 i}

$\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$

{\hat{θ}}_{i}

$\hat{\theta}_i$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ 각 개인에 대한 시간 평균입니다. 이것은 당신이 그룹 때문에 피 싶다고 보통 임의 효과 추정처럼되지 않습니다

변수와의 상관 관계 제거하기 위해 위해 계측 된

. 들어

기기는

. 시간 불변 변수에 대해서도 동일하게 수행되므로 성별 변수가 고정 효과와 상관 관계가 있음을 지정하면

계측 되므로 시간 불변 변수보다 시간에 따른 변수가 더 많아야합니다.

2

$2$

c_{i}

$c_i$

{\tilde{X}}_{2 i t}

$\tilde{X}_{2it}$

X_{2 i t} - {\bar{X}}_{2 i}

$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$

이 모든 것이 약간 복잡하게 들릴 수 있지만이 견적 도구에 대한 통조림 패키지가 있습니다. 예를 들어 Stata에서 해당 명령은 xthtaylor입니다. 이 방법에 대한 자세한 내용은 Cameron and Trivedi (2009) "Stata를 사용한 미시 경제학"을 참조하십시오. 그렇지 않으면 조금 더 쉬운 두 가지 이전 방법을 고수 할 수 있습니다.

추론
귀무 가설 검정의 경우 고정 효과 회귀 분석에서 수행해야 할 것 이외로 고려해야 할 것이 많지 않습니다. 개별 ID 변수를 클러스터링하는 등의 오류에서 자기 상관을 처리해야합니다. 이것은 자기 상관을 다루는 클러스터 (개별) 사이의 임의의 상관 구조를 허용합니다. 참고로 Cameron과 Trivedi (2009)를 다시 참조하십시오.

— 앤디
소스

4

성별 더미를 유지하는 또 다른 잠재적 인 방법은 시간이 변하지 않는 변수가있는 고정 효과 모델에 대한 Mundlak (1978) 접근 방식 입니다. Mundlak의 접근법은 성별 효과가 시변 변수의 그룹 수단에 투영 될 수 있다고 가정 할 것이다.

Mundlak, Y. 1978 : 시계열 및 횡단면 데이터 풀링. 계량 경제학 46 : 69-85.

— 에머리 빌
소스

2

또 다른 방법은 평균 오차를 종속 변수로 사용하여 두 번째 단계 방정식에서시 불변 계수를 추정하는 것입니다.

$\beta$ $\gamma_{t}$ $\hat{u}_{it}$

{\hat{u}}_{i t} \equiv y_{i t} - X_{i t} \hat{β}

$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$

$\bar{u}_{i}$

{\bar{u}}_{i} \equiv \frac{\sum_{t = 1}^{T} {\hat{u}}_{i}}{T} = \bar{y_{i t}} - {\bar{x}}_{i} \hat{β}

$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$

이제 다음 2 단계 방정식을 고려하십시오.

{\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$

$c_{i}$ $\delta$ $T \rightarrow \infty$

$\bar{u}_{i}$

{\bar{u}}_{i} = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} \hat{β} + δ m a l e_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T}

$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$

이 추정기의 기대치는 다음과 같습니다.

E ({\bar{u}}_{i}) = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} E (\hat{β}) + δ m a l e_{i} + E (c_{i}) + \frac{\sum_{t = 1}^{T} E (ϵ_{i t})}{T}

$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$

If assumptions for FE consistency hold, $\hat{\beta}$ is an unbiased estimator of $\beta$ , and $E(\epsilon_{it}) = 0$ . Thus:

E ({\bar{u}}_{i}) = δ m a l e_{i} + E (c_{i})

$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$

This is, our predictor is an unbiased estimator of the time-invariant components of the model.

Regarding consistency, the probability limit of this predictor is:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} β) - p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} \hat{β}) + p lim_{T \to \infty} δ m a l e_{i} + p lim_{T \to \infty} c_{i} + p lim_{T \to \infty} (\frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T})

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$

Again, given FE assumptions, $\hat{\beta}$ is a consistent estimator of $\beta$ , and the error term converges to its mean, which is zero. Therefore:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$

Again, our predictor is a consistent estimator of the time-invariant components of the model.

— luchonacho
소스

1

The Mundlak chamberlain device is a perfect tool for this. It is usually referred to as the correlated random effects model because it uses the random effect model to implicitly estimate fixed effects for time variant variables while also estimating the random effects for time invariant variables.

However, in statistical softwares, you implement it thesame as the random effect model but you have to add the means of all time variant covariates.

— Martin Paul
소스