NP- 하드 문제에 대한 최적의 욕심 알고리즘

더 나은 말이 없기 때문에 탐욕은 좋습니다. 입문 알고리즘 과정에서 가르친 첫 번째 알고리즘 패러다임 중 하나는 탐욕스러운 접근법 입니다. 탐욕적인 접근 방식은 P의 많은 문제에 대해 간단하고 직관적 인 알고리즘을 생성합니다. 더욱 흥미롭게도 일부 NP- 어드 문제의 경우 분명하고 자연스러운 욕심 / 로컬 알고리즘은 (적합한) 최적 근사 계수 (적합한 복잡도 이론 가정하에)를 초래합니다. 전형적인 예는 표지 설정 문제 입니다. 자연스럽고 탐욕스러운 알고리즘은 O (ln n) 근사 계수를 제공하며, P = NP가 아닌 경우 최적입니다.

적절한 복잡도 이론 가정 하에서 아마도 최적 인 NP-hard 문제에 대한 자연스럽고 탐욕스러운 / 로컬 알고리즘의 이름을 지정하십시오.

조건부 기대 방법은 (최대 컷 최대-SAT의 「무선 배치 "알고리즘을 역 랜덤 용) 욕심 전략으로 볼 수있다 : 위해 ,는 변수의 값을 선택 X 내가 이러한 결과 축소 인스턴스에서 충족되는 예상 제한 수가 현재 인스턴스에서 충족 된 예상 제한 수를 초과합니다. (사실, 그리 디 알고리즘에 대한 1 / 2 최대 컷 -approximating는 동일한 은 "조건부 기대 방법"등을위한 알고리즘 1 / 2 최대 컷 -approximating).$i=1,\ldots,n$$x_i$$1/2$$1/2$

$7/8$$P=NP$

정점 커버 : 최고의 상수 인자 근사 알고리즘 은 (매우) 최대 매칭을 찾고 근사 솔루션과 관련된 모든 정점을 선택하는 것을 포함합니다. 이것은 대략 2의 해를 만들어 주며 Unique Games Conjecture가 거짓이 아닌 한 더 나은 상수 팩터 근사는 불가능합니다 .

Subhash Khot 및 Oded Regev, Vertex 커버는 2008 년 2-ε (JCSS 74 (3)) 이내로 근사하기 어려울 수 있습니다 .

오프 주제 : 나는 이것이 매우 근사한 알고리즘이라고 생각합니다. 특히 후시의 이점이 있기 때문에 사소한 것이기 때문입니다.

유 방향 그래프가 제공되면 최대 모서리 수를 가진 비순환 하위 그래프를 찾습니다.

사소한 2 근사 알고리즘 : 임의의 정점 순서를 지정하고 앞쪽 가장자리 또는 뒤쪽 가장자리를 선택합니다.

2 근사를이기는 것은 독특한 게임 하드라고 알려져 있습니다 (NP 하드가 아닐 수도 있음).

• 무작위 순서를이기는 것은 어렵다 : 최대 비 환식 하위 그래프 Venkatesan Guruswami, Rajsekar Manokaran 및 Prasad Raghavendra의 근접성.

카디널리티 제약과 관련하여 하위 모듈 식 최대화에는 1-1 / e 욕심이 있습니다. 알고리즘은 Nemhauser, Wolsey, Fisher 때문입니다. max-coverage는 submodular 최대화의 특수한 경우로 NP cover는 set cover의 np-hardness를 따릅니다.

Greedy는 Max-k-cover에 (1-1 / e) 근사치를 제공하며 P = NP가 아니면 향상시킬 수 없습니다.

최소 학위 MST 찾기. hamiltonian 경로를 찾는 것이 특별한 경우이므로 np가 어렵습니다. 지역 검색 알고리즘은 추가 상수 1을 제공합니다.

참고

최소도 Steiner 트리를 최적의 값으로 근사화

$k$$G = (V,E)$$d_{ij} \geq 0$$i,j \in V$$k$

$k$$S \subseteq V, |S| = k$$k$$k$$k$$r$$r$

$i \in V$$S$$|S| < k$$j \in V$$d(j,S)$$S$$|S| = k$

$2$$k$$\rho$$\rho < 2$$P = NP$$k$$k$$2$

$P|prec|C_{max}$

Ola Svensson의 동일 머신 에 대한 우선 순위의 조건부 경도 제한 스케줄링

어쩌면 이것은 또한 당신에게 관심이있을 것입니다 ( 전역 제약 조건을 지역 제약 조건으로 변환하기 위해 Methods에서 채택 됨 )

탐욕스러운 방법 (보다 정확한 지역 방법)은 전역 최적화를 달성하기 위해 지역 정보 만 사용하므로, 지역 정보 만 사용하여 조건을 글로벌 조건으로 변환 할 수있는 방법이 발견되면 문제에 대한 (전역 적으로) 최적의 솔루션을 제공합니다 탐욕스럽고 지역적인 기술만을 사용합니다.

참고 문헌 :

1. 전 세계적으로 생각하고 현지에 적합 : 저 차원 매니 폴드에 대한 감독되지 않은 학습 (Journal of Machine Learning Research 4 (2003))
2. 유량 제어 응용 프로그램과 함께 로컬 정보를 사용하는 글로벌 최적화, Bartal, Y.
3. 왜 자연 그라디언트인가, Amari S., Douglas SC
4. 글로벌 목표의 로컬 최적화 : 경쟁력있는 분산 교착 상태 해결 및 리소스 할당, Awerbuch, Baruch, Azar, Y.
5. 지역 및 글로벌 일관성을 갖춘 학습
6. 지역 일관성 방법으로 해결할 수있는 제약 만족 문제

전역 평가 함수 (또는 제약 조건)를 로컬 함수 (로컬 정보 사용)로 변환하는 문제와 일관성 (즉, 동일한 글로벌 최적으로 수렴) 문제를 다루는 몇 가지 참조가 있습니다.

1. 전진 진화를위한 국소 평가 함수와 전역 평가 함수, 한징, 2003
2. 한징과 카이 청성 지역 평가 기능의 출현

초록 (1에서 위)

이 논문은 고전 조합 문제를 해결하기위한 평가 함수의 지역 성과 세계 성의 측면에서 kcoloring 문제 (결정 문제)와 최소 착색 문제 (최적화 문제)의 계산 진화에 대한 새로운 모습을 제시한다. 먼저 현재 알고리즘을 검토하고 멀티 에이전트 시스템으로 색상 문제를 모델링합니다. 그런 다음 기존 알고리즘 (시뮬레이션 어닐링과 같은 로컬 검색)과 분산 알고리즘 (예 : Alife & AER 모델)의 근본적인 차이는 평가 기능에 있음을 보여줍니다. 시뮬레이션 된 어닐링은 전체 정보를 사용하여 전체 시스템 상태를 평가합니다. 글로벌 평가 함수 (GEF) 방법; Alife & AER 모델은 로컬 정보를 사용하여 단일 에이전트의 상태를 평가합니다. 이를 LEF (Local Evaluation Function) 방법이라고합니다. k- 색소 문제와 최소 색소 문제를 해결하기위한 LEF 및 GEF 방법의 성능을 비교합니다. 컴퓨터 실험 결과에 따르면 LEF는 GEF 방법 (Simulated Annealing and Greedy)과 비교할 수 있으며 LEF는 GEF 방법보다 우수합니다. 동시에 GEF와 LEF의 관계 : 일관성과 불일치도 분석합니다. 일관성 정리 (Consistency Theorem)는 LEF가 GEF와 일치 할 때 LEF의 내쉬 평형이 GEF의 로컬 최적화와 동일 함을 보여줍니다. 이 정리는 LEF가 시스템을 세계적인 목표로 이끌 수있는 이유를 부분적으로 설명합니다. 일관된 LEF를 구성하기위한 몇 가지 규칙이 제안됩니다. 일관성 외에도

구체적으로이 논문은 로컬 함수 (LEF)가 전역 함수 (GEF)와 일치 하는지 여부를 결정하는 방법과 주어진 GEF ( 일관성 정리 ) 로부터 일관된 LEF를 구성하는 방법을 설명 합니다.

결론 부분에서 발췌 (1에서 이상)

이 논문은 LEF & GEF 연구의 시작일뿐입니다. 위의 연구 보고서 외에도 앞으로도 많은 연구가 진행되고 있습니다 : LEF 방법에 대한 더 많은 실험; LEF에 대한 분석 연구; LEF에 대한 지역 정보의 충분 성; LEF에 대한 일관된 GEF의 존재; 일관성 개념이 충분합니까? 유전자 알고리즘에도 평가 기능 (피트니스 기능)이 있으므로 LEF & GEF를 유전자 알고리즘에 적용 할 수 있습니까? …이 모든 질문을 연구하고 답하려고하는 것이 우리의 의도입니다