반복 측정 ANOVA : 정규성 가정이란 무엇입니까?

반복 측정 ANOVA에서 정규성 가정에 대해 혼란스러워합니다. 구체적으로, 나는 어떤 종류의 정규성이 정확히 충족되어야하는지 궁금합니다. 이력서에 대한 문헌과 답변을 읽을 때 나는이 가정에 대한 세 가지 뚜렷한 표현을 발견했습니다.

각 (반복) 조건 내 종속 변수는 정상적으로 분포되어야합니다.

rANOVA는 ANOVA와 같은 가정과 구형도를 갖는 것으로 종종 언급됩니다. 그것은 Field 's Discovering 통계 와 주제에 대한 Wikipedia의 기사 및 Lowry의 텍스트 에 대한 주장 입니다.
잔차 (모든 가능한 쌍 간의 차이?)는 정상적으로 분포되어야합니다.

이 진술은 CV ( 1 , 2 ) 에 대한 여러 답변에서 발견되었습니다 . rANOVA와 paired t-test 를 비교하면 직관적 인 것처럼 보일 수도 있습니다.
다변량 정규성이 충족되어야합니다.

Wikipedia 와이 출처 는 이것을 언급합니다. 또한, rANOVA 가 MANOVA와 교체 될 수 있다는 것을 알고 있습니다 .

이것들은 어떻게 든 동등합니까? 그 다변량 정규성 수단 것을 알고 있는 내가 제대로 후자를 이해하면 DV로의 선형 조합이 정규 분포, 그래서 3. 자연스럽게 2. 포함됩니다.

이것들이 동일하지 않다면, rANOVA의 "진정한"가정은 무엇입니까? 당신은 참조를 제공 할 수 있습니까?

첫 번째 주장에 대한 지원이 가장 많은 것 같습니다. 그러나 이것은 일반적으로 여기에 제공되는 답변과 일치하지 않습니다.

선형 혼합 모델

@utobi의 힌트로 인해 rANOVA가 선형 혼합 모델로 어떻게 복원 될 수 있는지 이해합니다. : 구체적으로, 시간 혈압 변화, I는 기대 값을 모델링 얼마나 모델화 혈압을 측정하고, 평균 피 번째 대상의 압력 , 및 번째 대상이 측정 된 번째 시간 으로서의 ,

E [y_{i j}] = a_{i} + b_{i} t_{i j},

$\mathrm{E}\left[y_{ij}\right]=a_{i}+b_i t_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

a_{i}

$a_{i}$

i

$i$

t_{i j}

$t_{ij}$

j

$j$

i

$i$

b_{i}

$b_i$ 혈압 의 변화 가 피험자마다 다르다는 것을 나타냅니다 . 대상체의 샘플은 모집단의 무작위 서브 세트 일 뿐이므로 주요 관심 대상이므로 두 가지 효과는 모두 무작위로 간주됩니다.

마지막으로, 이것이 정상이라는 것이 무엇을 의미하는지 생각했지만 거의 성공하지 못했습니다. McCulloch and Searle (2001, p. 35. Eq. (2.14))의 역설 :

\begin{aligned} E [y_{i j} | a_{i}] & = a_{i} \\ y_{i j} | a_{i} & \sim i n d e p . N (a_{i}, σ^{2}) \\ a_{i} & \sim i . i . d . N (a, σ_{a}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[y_{ij}|a_i\right] &= a_i \\[5pt] y_{ij}|a_i &\sim \mathrm{indep.}\ \mathcal{N}(a_i,\sigma^2) \\[5pt] a_i &\sim \mathrm{i.i.d.}\ \mathcal{N}(a,\sigma_a^2) \end{align}$

나는 이것을 의미하는 것으로 이해한다

4. 각 개인의 데이터는 정규적으로 배포되어야하지만 몇 가지 시점으로 테스트하기에는 무리가 있습니다.

세 번째 표현은

5. 개별 과목의 평균은 일반적으로 배포됩니다. 이것들은 위에서 언급 한 세 가지 외에 또 다른 두 가지 가능성입니다.

McCulloch, SR & SR, SR (2001). 일반화, 선형 및 혼합 모델 . 뉴욕 : John Wiley & Sons, Inc.

— 파토 39
소스

단서를 제공하기 위해. 선형 혼합 모델 (LMM)로 rANOVA 모델을 명시 할 수 있습니다. LMM이 있으면 암시적인 정규성 가정이 즉시 나타납니다. 여길 봐 (LMM에 대한 일부 이론은 eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470073713.html )를

— utobi

제공 한 참조에 대해 @utobi에게 감사합니다! 사실, 나는 첫 두 장을 공부했지만 내 질문에 대한 답을 찾지 못했습니다. 내가 한 제한된 진행 상황을 반영하여 업데이트했습니다.

— Fato39

이것은 나에게 완전히 좋은 질문처럼 보입니다. 나는 열린 채로 투표하고 있습니다.

— gung-복원 Monica Monica

사실, 각 개인의 데이터는 정상적으로 배포되어야합니다. 당신은 당신이 쓴 것을 보면 그러나, 모든 개별 데이터는 그들이 (깎아되면

0의 평균과 같은 분산 (있을 것이다 오프 뺀다)

). 따라서 모든 의미가없는 데이터가 단일 정규 분포에서 발생한다고 가정 할 수 있습니다. 잔차를보고이 가정이 얼마나 잘 충족되는지 확인할 수 있습니다.

a_{i}

$a_i$

σ_{a}^{2}

$\sigma_a^2$

— Heteroskedastic Jim

이것은 우리가 단 변량 모델로 취급 할 때 가장 간단한 반복 측정 ANOVA 모델입니다.

y_{i t} = a_{i} + b_{t} + ϵ_{i t}

$y_{it} = a_{i} + b_{t} + \epsilon_{it}$

여기서 는 각각의 경우를 나타내고 는 측정 한 시간을 나타냅니다 (따라서 데이터는 긴 형식입니다). 는 다른 결과 위에 쌓인 결과를 나타내고 는 각 경우의 평균을 나타냅니다. $i$ $t$ $y_{it}$ $a_{i}$ $b_{t}$ $\epsilon_{it}$

$a_{i}$ $F$ $b_{1}=...=b_{t}=0$

$F$

ϵ_{i t} \sim N (0, σ) these errors are normally distributed and homoskedastic

$\begin{equation} \epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(0,\sigma)\quad\text{these errors are normally distributed and homoskedastic} \end{equation}$

$F$

반복 측정 ANOVA를 다변량 모델로 취급하려는 경우 정규 가정이 다를 수 있으며 Wikipedia에서 본 것 이상으로 확장 할 수 없습니다.

— 이분법 적 짐
소스

반복 측정 ANOVA의 정상성에 대한 설명은 여기에서 찾을 수 있습니다.

SPSS 출력의 올바른 해석을위한 반복 측정 ANOVA 가정 이해

$3 \rightarrow 1$ $3 \rightarrow 2$ $5$

— 페데리코 테데 스키
소스

Federico, 답변 주셔서 감사합니다. 나는이 설명을 알고 있었다 (내 포인트 번호 2와 거기에서 참조 된 첫 번째 CV 링크 참조). 나는 이력서에 대한 답변의 품질에 감사하지만, 다른 출처를 상담 할 때 내 질문에 다른 (충돌?) 답변을 얻었습니다. 따라서 위의 다섯 가지 요점에서 언급 한 뉘앙스를 명시 적으로 또는 결정적으로 해결할 수있는 출처를 선호합니다.

— Fato39